2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(2).doc

陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(二)一、填空题（每小题6分，共60分）1. 集合, 则的取值范围是_2. 某人投两次骰子, 先后得到点数, 用来作为一元二次方程的系数, 则使方程有CABDEFMN实根的概率为_3. 过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径_4. 如图, 分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且, 若B,M,N三点共线,则=_ 5. 已知是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是 6. 对所有的实数及均有, 则实数的取值范围是 _ .7. 定义“n次幂平均三角形”:如果ABC的三边满足等式：(), 则称ABC为“n次幂平均三角形”. 如果ABC为“3次幂平均三角形”, 则角B的最大值是 _ .8. 设为复数, 其中, 若, 则当的辐角主值最小时, 的值为_9若，则的值是 10将集合中的数从小到大排列，第100个是 （用数字作答）二、解答题（每小题20分，共100分）11已知函数.若，求的最大值.12、已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由13、数列an满足对任意nN*，求的最小值14. 在中，是的内心，以为圆心为半径作圆，以为圆心为半径作圆，过点的圆与分别相交于点（不同于点），设相交于点，证明：15、2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟2 参考答案1、由条件知, A, 2a+13a5, A, 解得a4或1a9.2、由题意知，则事件总数为36，而方程有实根等价于, 即：，据此可列出的值：1, 2, 3, 4, 5, 6。的个数为：5, 4, 3, 3, 2, 2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率为3、过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，垂足为，则，且有。由于，则，因此为半径为的球的直径，从而四面体 的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得.4、延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP= ，由，可得：，又，CA是边上的中线，则有，即：，整理得：，因为当B，M，N三点共线时，存在实数使得，故，解得5、是偶函数, , 即,. 的图像与轴交点的纵坐标是,设a=2cos, b=2sin, 0, , 3ab=6cos2sin, 当时，最大为66、即恒成立, 则, 即或. 或. , 当且仅当, 即.故. 又易知函数在单调递减, 故. 综上可知, 实数的取值范围是.7. 解：注意到条件, 猜想当时, 角B达到最大值, 由余弦定理知,此时, 得到B=.为此只需证明. 即证明, 即 ,即 , 即. 显然.8、因为，所以，于是对应的点P在以对应的点M为圆心，3为半经的圆C上，当的辐角主值最小时,OP与圆C相切，而，则，于是，又的辐角主值，所以，故9、 10、577 11. 解析： 求出函数的解析式:由于和都是常数，所以设，利用待定系数法求出函数的解析式.设：，则：其导函数为：，则：所以：，函数的解析式为： 化简不等式即：，故： 构建新函数，并求其极值点:构建函数 其导函数： 要使式得到满足，必须.即：，或的最小值等于0故当取得极值时有：，由式得极值点：.此时的由得： 求的最大值.由式得：，则： 令：，则式右边为： （）其导函数为： 当，即：时，单调递增；当，即：时，单调递减；当，即：时，达到极大值.此时，的极大值为： 得出结论将代入式得：，故：的最大值为本题的关键：利用已知的不等式得到关于的不等式即式，然后求不等式式的极值.12. （1）由双曲线离心率为2知，双曲线方程化为又直线方程为由，得 设，则，因为 ，所以 ，结合，解得，代入，得，化简得又且所以此时，代入，整理得，显然该方程有两个不同的实根符合要求故双曲线的方程为 （2）假设点存在，设由（1）知，双曲线右焦点为设（）为双曲线右支上一点当时，因为，所以 将代入，并整理得，于是 ，解得当时，而时，符合所以符合要求满足条件的点存在，其坐标为 13. 由已知：，从而还有以上两式相减，得， 故 （1）若数列中所有项均为1，则（2）若数列中所有项不均为1，设a1a2am11(m1时该式省去)，am1.中，取nm, 有am11或a1a2am1am1由前面所设，a1a2am-1amam 1am11设amkamk1am11，则中，取nmk, 有am k11或a1a2amk1，同理，只可能是am k11另外，由下式可说明，当am 1，nm时，可以保证条件成立：当m2003时，归为（1）的情形若1m2003，则综上，当a1a2a20021,a20032003时，取最小值，等于200300114.张教授第8题15.