湖南省郴州市泗洲中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析.docx

湖南省郴州市泗洲中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（     ）

A．        B．       C.         D．
参考答案：
D
2. 复数的共轭复数是（　　）
A． B． C．﹣i D．i
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．
【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．
故选C
3. 已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有(　　)
（A）区间[1,2]和[2,3]      （B）区间[2,3]和[3,4]
（C）区间[2,3]、[3,4]和[4,5] （D）区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
参考答案：
C
因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]、[3,4]和[4,5]内有零点, 选C.
4. 若，则=（　　）

A．

B．

C．

D．

参考答案：
A
考点：
两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
利用诱导公式求得cos（+α） 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 =2﹣1的值．
解答：
解：∵=cos（+α），∴=2﹣1=﹣，
故选A．
点评：
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
5. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（　　）
A．y=﹣ B．y=ln|x|
C．y=sinx D．y=
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可．
【解答】解：对于A，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函数，但在定义域上不是增函数，故不正确；
对于B，是偶函数，故不正确；
对于C在定义域上有增有减，故不正确；
对于D，函数的图象如图：，可知是奇函数，在定义域上是增函数，
故选D．
6. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为

A．         B．         C．        D． 
参考答案：
B
由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为，底面矩形的长为3底面宽为，所以该几何体的体积为，选B.
8. 已知函数，则函数的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案：
D
9. 复数z满足，则复数z等于（）
A. 1－i B. 1+i C. 2 D. -2
参考答案：
B
【分析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】复数满足，
∴，
故选B.
10. 集合，集合，则（   ）
A．    B．      C．       D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题,则是           
参考答案：

特称命题的否定为全称命题：.
12. 已知复数z满足：，则z=        ▲      
参考答案：
；
13. 若x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y的最小值是　   　．
参考答案：
3
【考点】基本不等式．
【分析】x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则2y=．则x+2y=x+=x+2+﹣3，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则2y=．
则x+2y=x+=x+2+﹣3≥﹣3=3，当且仅当x=1时取等号．
因此其最小值是3．
故答案为：3．
14. 设分别为椭圆:
的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为
上异于的一点,直线交于,为中
点,有如下结论:①平分;②与椭圆
相切;③平分;④使得的点
不存在.其中正确结论的序号是_________________.

参考答案：

略
15. 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．
参考答案：
(2，4]
16. 已知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3, )是使得z=ax－y取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为 

参考答案：

17. 复数，则复数的模等于__________．
参考答案：

，
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（I）求边的中线所在直线的方程．
（II）求边的高，并求这条高所在直线的方程．
参考答案：
见解析
解（I）由中点坐标公式可知，点坐标为，
∴边中线所在的直线方程斜率为：，
∴边中线所在直线方程为：，
即．
（II）∵，
∴边的高线所在直线的斜率，
∴边的高所在直线方程为：，
即．
∵点到的距离，
∴边的高为，边高所在直线方程为：．
19. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（1）求角B的大小；
（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．

参考答案：
【考点】HP：正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC＞0，可求tanB=1，根据范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求，S△BDC=sinD，由三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．
∴有sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，
则cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴则．
（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，
∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，
又∵，
则△ABC为等腰直角三角形，，
又∵，
∴，
当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为．

20. 已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.
参考答案：
解：（1）设所求椭圆方程为，由题意知，①
设直线与椭圆的两个交点为，，弦的中点为，
由，两式相减得：，
两边同除以，得，即.
因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，
所以，，所以，即，②
由①②可得，，所以所求椭圆的方程为.
（2）设，，的中点为，
联立，消可得：，
此时，即①
又，，
为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知，即，
整理可得：②
由①②可得，，∴，∴，
记到直线的距离为，则

，
当时，的面积取最大值1，此时，，
∴直线方程为.
21. 已知点F是抛物线C：的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=. 
（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长SA、SB
分别交抛物线C于M、N两点；
      ①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
       ②延长NM交轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

参考答案：
解：（1）设(＞0)，由已知得F，则|SF|=，
           ∴=1，∴点S的坐标是(1,1)----------------- -------2分
（2）①设直线SA的方程为
由得
           ∴，∴。
           由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为，∴，
           ∴--------------7分
       ②设E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，
∴ ，则∴--------------------------8分
         ∴直线SA的方程为，则，同理
         ∴-------------12分
略
22. 如图，正四面体中，为线段的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数值表示）。(12分)

参考答案：
取线段AB的中点N，连接MN、PN，M、N分别为线段BC、AB的中点，
则，

所以为异面直线与所成的角（或其补角）   5分
设正四面体的棱长为
等边三角形PBC中，M为BC的中点，
等边三角形PBA中，N为BA的中点，
                                                       8分
三角形PMN中，
        10分
得故异面直线与所成的角为           12分