湖南省郴州市集龙中学2019年高一数学理月考试卷含解析.docx

湖南省郴州市集龙中学2019年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，，则是(      )
A．第一象限的角     B．第二象限的角     C．第三象限的角    D．第四象限的角
参考答案：
B
略
2. 已知函数f（x）=2x+2x﹣6的零点为x0，那么x0所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在条件进行判断即可．
【解答】解：∵函数f（x）=2x+2x﹣6为增函数，
∴f（1）=2+2﹣6=﹣2＜0，f（2）=22+2×2﹣6=2＞0，
则函数在（1，2）内存在零点，
x0所在的区间是（1，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的判断，判断函数的单调性以及函数函数在区间端点处的符号关系是解决本题的关键．
3. 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（　 ）
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

参考答案：
B
边7对角为，则由余弦定理可知，所以，所以最大角与最小角的和为，选B.
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则（  ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案：
B
【分析】
先由正弦定理得到，再由正弦定理得到进而得到结果.
【详解】在中，角、、的对边分别为、、，已知，根据正弦定理得到
进而得到，故
故答案为：B.
【点睛】在解与三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
5. 已知，i是虚数单位，若，则的值为（   ）
A. 1 B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.
【详解】

故选D
【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.
6. 如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A′E与BD不可能垂直
参考答案：
D
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确
【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，
∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；
由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，
∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；
三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，
当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；
当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．
故选：D．
7. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为（　　）
A．           B.             C.           D.
参考答案：
C
8. 下列函数表示同一函数的是 （　　 ）      
A、                 B.  
C、    D、
参考答案：
B
9. 如果角的终边经过点，那么的值是
　　A．　　　B．　　　C．　　D．
参考答案：
D
10. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．
故选D．
【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与终边相同的最大负角是_______________。
参考答案：
    解析：
12. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。根据图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为         .

参考答案：

略
13. 圆：和：的位置关系是          。
参考答案：
内切
14. _______  
参考答案：

15. 函数（且）恒过点__________．
参考答案：
(2,1)
由得，故函数恒过定点．
16. 已知函数f（x）=x2﹣9，，那么f（x）?g（x）=　　．
参考答案：
x2+3x （x≠3）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】直接相乘即可，一定要注意定义域．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣9，，那么f（x）?g（x）=x2+3x （x≠3）．
故答案为：x2+3x （x≠3）
【点评】本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．
17. 计算：           
参考答案：
4
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知幂函数f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在整数m，使函数g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得（2﹣k）（1+k）＞0，又k2+k﹣1=1，即可得到k的值和f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，讨论m的符号，结合二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得m的值．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上单调递增，
可得（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，
又k2+k﹣1=1，可得k=﹣2或1，
即有k=1，幂函数f（x）=x2；
（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，
当m=0时，g（x）=1﹣x在[0，1]递减，
可得g（0）取得最大值，且为1，不成立；
当m＜0时，g（x）图象开口向上，最大值在g（0）或g（1）处取得，
而g（0）=1，则g（1）=5，即为m=5，不成立；
当m＞0，即﹣m＜0，g（x）=﹣m（x﹣）2+．
①当≤0，m＞0时，解得0＜m≤，
则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，
而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；
②当≥1，m＞0时，解得m不存在；
③当0＜＜1，m＞0时，解得m＞，
则g（x）在x=处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，
而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即m=5，满足m的范围．
综上可知：满足条件的m存在且m=5．
【点评】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数的最值的求法，熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．
19. （本小题满分12分）如图,已知四边形是正方形,平面,//,,,,分别为,,的中点.             
(Ⅰ)求证: //平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.

参考答案：
(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点, 所以. 
又因为平面,平面, 
所以//平面   ……….4
(Ⅱ)因为平面,所以. 
又因为,,所以平面. 

由已知,分别为线段,的中点, 
所以//. 
则平面. 
而平面, 
所以平面平面    ……….8
(Ⅲ)在线段上存在一点,使平面.证明如下: 
在直角三角形中,因为,,所以. 
在直角梯形中,因为,,所以, 
所以.又因为为的中点,所以. 
要使平面,只需使. 
因为平面,所以,又因为,, 
所以平面,而平面,所以. 
若,则∽,可得. 
由已知可求得,,,所以   ……….12

20. (本小题满分12分)已知函数
(I)求的值；
(Ⅱ)作出函数的简图；
(III)求函数的最大值和最小值．
参考答案：
（Ⅰ）当－1≤ x ≤0时, f (x)=－x
∴f (－)=－(－) =
当0≤ x <1时, f (x)=
∴f ()=()=
当1≤ x ≤2时, f (x)= x
∴f ()= …
[2]如图：

(Ⅲ) f (x)=f (2)=2; f (x)= f (0)=0……12分

21. 如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC=．
（Ⅰ）若点B（，），求cos∠AOC的值；
（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数的定义，写出cos∠AOB与sin∠AOB的值，再计算cos∠AOC的值；
（Ⅱ）根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y的解析式，求出y的最大值即可．
解：（Ⅰ）∵B（，），
∴cos∠AOB=，sin∠AOB=；
∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）
=cos∠AOBcos∠BOC﹣sin∠AOBsin∠BOC
=×﹣×
=；…
（Ⅱ） 等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin=2sin，
等腰三角形COD中，求得
|CD|=2|OC|sin=2sin（﹣）；…
∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|
=3+2sin+2sin（﹣）
=3+2sin（+）；…
由0＜x＜得，当+=，
即x=时，y取得最大值5．…
22. （本小题满分12分）
习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的．
（1）求函数的关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）

参考答案：
解：（1）根据题设，得，
所以，
（2）由，得，
两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30
因此，至少还需过滤30小时