湖南省郴州市平和中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析.docx

湖南省郴州市平和中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若指数函数的图象经过点，则=（    ）
A.4             B. 2             C.1              D. 0
参考答案：
B
2. 对于任意实数、、、，下列命题中，真命题为（　　）．
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．① B．② C．③ D．④
参考答案：
C
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】通过举反例可以得出①、②、④不正确，从而排除，由不等式的性质可得只有③正确．
【解答】解：当时，①不成立；当时，②不成立；由不等式的性质知 ③成立，
当时，④不成立．综上，只有③成立，
故选．
3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（lgx）＜0，则x的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，10） C．（1，+∞） D．（10，+∞）
参考答案：
A
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数是奇函数，且在[0，+∞）单调递增，得到函数在R上单调递增，利用函数的单调性解不等式即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，
∴函数在R上单调递增，且f（0）=0，
则由f（lgx）＜0=f（0）得lgx＜0，
即0＜x＜1，
∴x的取值范围是（0，1），
故选：A．
4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：

3
4
5
6

2.5
3

4.5
若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得对的回归直线方程是0.7+0.35，则表中的值为（   ）
A．4                  B．4.5                      C．3               D．3.5
参考答案：
A
略
5. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（ ）

（A）3个      （B）4个       （C）5个      （D）6个  
参考答案：
A
 解析：，故选A。也可用摩根律：
6. 已知集合A=，B=，则A与B的关系是（   ）
A． A          B．           C． B          D．
参考答案：
C
7. 三棱锥中，，是等腰直角三角形，.若为中点，则与平面所成的角的大小等于(   )
A.           B.           C.         D.
参考答案：
B
8. 在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)
A.                                     B.
C．1                                    D.
参考答案：
D
由sin2A＋cos2B＝1，得cos2B＝cos2A.又A、B为△ABC的内角，所以A＝B，则C＝π－2A.cosA＋cosB＋cosC＝2cosA＋cos(π－2A)＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－22＋，可知当cosA＝时，cosA＋cosB＋cosC取得最大值.
9. 的斜二侧直观图如图所示，则的面积为（    ）
A．         B．         C．         D．

参考答案：
B
略
10. 数列{an}满足，则an=（　　）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用数列递推关系即可得出．
【解答】解：∵，
∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1=，
∴3n﹣1an=，可得an=．
n=1时，a1=，上式也成立．　　
则an=．
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=　   　．
参考答案：
1
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据集合相等的条件建立条件关系，即可求出a，b的值，进而可得a2014+b2015的值．
【解答】解：∵集合A={a，，1}，B={a2，a+b，0}，且A=B，
∴a≠0，则必有=0，即b=0，
此时两集合为A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}，
∴a2=1，
∴a=﹣1或1，
当a=1时，集合为P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不满足集合元素的互异性．
当a=﹣1时，P={﹣1，0，1}，集合Q={1，﹣1，0}，满足条件，
故a=﹣1，b=0．
a2014+b2015=1，
故答案为：1．
12. 若函数f（x）=在（﹣∞，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是　　．
参考答案：
[，2）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】若函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递增，则每段函数均为增函数，且当x=1时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，由此可构造满足条件的不等式组，解出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递增，
则，
解得：a∈[，2）；
故实数a的取值范围是[，2），
故答案为：[，2）
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握分段函数的单调性是解答的关键．
13. 已知实数满足则点构成的区域的面积为     ， 的最大值为        
参考答案：
8，11
试题分析：先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形面积，令，变为，显然直线过时，z最大进而求出最大值。
考点：线性规划问题，求最优解
14. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过       小时，才能开车？（精确到1小时）.
参考答案：
5
15. 已知，那么的最小值是_______
参考答案：
5
16. 已知数列{an}为等比数列，，，则数列{an}的公比为__________．
参考答案：
2
【分析】
设等比数列的公比为，由可求出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
17. 已知函数f(x)=，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是　     　．
参考答案：
（，+∞）∪（﹣∞，0]

【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）=x2 ﹣3ax 不是单调的，它的对称轴为x=a，则有a＞1，
解得a＞；
②当x≥1时，若f（x）=x2 ﹣3ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时a≤1，即a≤．
当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1﹣4a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，0]．
故答案为：（，+∞）∪（﹣∞，0]．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）?f（x+α），其中α是常数．
（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；
（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；
（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．
参考答案：
（1） （2）f（x）=2cosx，α=- （3）
【分析】
（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）?f（x+α）化简得出．
（2）对g（x）化简得=4cosx?cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．
（3）求出g（x）的解析式，由题意得g（x1）为最小值，g（x2）为最大值，求出x1，x2，从而得到|x1-x2|的最小值.
【详解】（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；
∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．
（2）∵=4cosx?cos（x-），
∴f（x）=2cosx，α=-．
（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）?f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）
=，
因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，
所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=-1
当时，g（x）≤g（x2）=2
所以
或
所以|x1-x2|的最小值是．
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图像及性质，考查分段函数的应用，属于中档题．
19. （本小题满分10分）已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围。
参考答案：
(1)         （2）
20. 已知函数.
 （1）求的定义域；
 （2）在函数的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；
 （3）当满足什么关系时，在上恒取正值.
参考答案：
解：（1）由得，                          （2分）
由已知，故，                                （3分）
即函数的定义域为.                         （4分）
    （2）设                           
     则.                         （5分）
     故，                                

即.在上为增函数.             （6分）
 假设函数的图像上存在不同的两点，使直线平行于轴，即，这与是增函数矛盾.故函数的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴.                    （8分）
（3）由（2）知，在是增函数，
  在上也是增函数.                             （9分）
当时，.                             （10分）
只需，即，即，                （11分）
时，在上恒取正值.                       （12分）

略
21. （10分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
（Ⅰ）求sin∠BDC的值；
（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？

参考答案：
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（Ⅰ）由已知可得 CD=20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC 的值．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得 CD=40×=20，
△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC==﹣，
∴sin∠BDC=．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，
∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．
△ABD中，由正弦定理可得AD==15，
∴t==22.5分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题．

22. 已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．

参考答案：

略