湖南省郴州市宜章县城关中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析.docx

湖南省郴州市宜章县城关中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（    ）
A．    B．           C．            D．
参考答案：

试题分析：因为是偶函数
所以，
即，解得
所以
所以
设切点横坐标诶
所以
设
所以，解得
即
故答案选
考点：函数的奇偶性；导数的几何意义.
2. 设命题p：“若对任意，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使
”，则
A、为真命题　　B、为假命题   C、为假命题　D、为真命题　
参考答案：
C
3. 设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（）∩（）等于（    ）   
A、           B、{1，3}             C、{1}              D、{2，3}
参考答案：
A
4. 设x，y满足，则z＝x＋y：    (　　)
A．有最小值2，最大值3             B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值            D．既无最小值，也无最大值
参考答案：
B
5. 在10人中，有4名学生，2名学校行政干部，3名专业教师，1名工人，数0.3是教师占总体分布的（　　）
Ａ．频数 Ｂ．概率 Ｃ．频率 Ｄ．累积频率
参考答案：
C
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-18，S13=-52，{bn}为等比数列，且b5 =a5，b7=a7，则b15的值为
     A．64                       B．128                      C．-64                      D．-128
参考答案：
C
略
7. 已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则
A.－2       B.－1        C.1         D.2
参考答案：
A

8. 函数的部分图象大致是（    ）
A．        B．     
C.          D．
参考答案：
C
本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力.
因为,所以是奇函数,排除.当时, ,所以；当时, ，,所以.
9. 已知，则的值等于
(A)   (B)   (C)   (D)
参考答案：
C
10. 函数，则( 　  )
A．0              　 B．1                  　 C．2  　　         D．3
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知且，设函数的最大值为1，则实数a的取值范围是________
参考答案：
.
【分析】
由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.
【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，
由于函数的最大值为，
则函数在上单调递减且，
则有，即，解得，
因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12. 设函数，满足，对一切都成立，又知当时，，则                
参考答案：

13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为          ．
参考答案：

解析：在中， ，
由正弦定理得， ，
由余弦定理得，
，
， ，
.
14. （文）数列的前项和为（），对任意正整数，数列的项都满足等式，则=          .
参考答案：

当时，，当时，，满足，所以，由得，所以。
15. 如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________．

参考答案：
11
16. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为   ▲    .
参考答案：

17. 在中，分别为内角、、的对边,若，则角B为      .
参考答案：

试题分析：由正弦定理得，，而余弦定理，所以，得.
考点：1.正余弦定理的应用.

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题15分）
已知向量
（1）当时，求的值的集合；      （2）求的最大值.
参考答案：
解析：（1），，即
即
所以，即
所以，的集合为------------------------------------------------8分
（2）

，即-----------------------------------------------------------15分
19. 已知曲线f（x）=aex﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题等价于xln x＞xe﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aex﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1，
故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1），
即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1，
故a=1，b=﹣1，
故f（x）=ex﹣x﹣1，f′（x）=ex﹣1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）极小值=f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=ex﹣1，
故问题等价于xln x＞xe﹣x﹣
设函数g（x）=xln x，
则g′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；
当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣，
设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣；
因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），
所以当x＞0时，g（x）＞h（x），
故x＞0时，＜exlnx+2．
20. 已知曲线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．
参考答案：
（1），；（2）．
（1）曲线（为参数），消去参数可得．
曲线的极坐标方程为．化为，
它的普通方程为．
（2）设为曲线上的点，点的极坐标为，的直角坐标为，
设，故，
中点到曲线的距离为（其中），
当，时，中点到曲线上的点的距离最小值为．
21. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）不等式等价于或或，
解得或，
所以不等式的解集是；
（2）存在，使得成立，
故需求的最大值.
，
所以，
解得实数的取值范围是.
22. 每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图．
男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）：
本/年
[0，10）
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
3
1
8
4
2
2
（Ⅰ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；
（Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率；
（Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关．
性别    阅读量
丰富
不丰富
合计
男

女

合计

P（K2≥k0）
0.025
0.010
0.005
k0
5.024
6.635
7.879
附：K2=，其中n=a+b+c+d．

参考答案：
【考点】独立性检验．
【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；
（Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率；
（Ⅲ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关．
【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为0.1+0.2+0.25=0.55，
∴中位数位于第三组，设中位数为a，则=，
∴a=38，
∴估计该校女生年阅读量的中位数为38；
（Ⅱ）利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，从这6人中随机抽取2人，共有方法=15种，各组分别为4人，2人，[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率1﹣=；
（Ⅲ）
性别    阅读量
丰富
不丰富
合计
男
4
16
20
女
9
11
20
合计
13
27
40
K2=≈2.849＜6.635，
∴没有99%的把握认为月底丰富与性别有关．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．