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课时作业2 向量的加法运算
知识点一 向量的加法及几何意义
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①错误，若a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的；②正确；③错误，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
2．下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②＝C的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 ∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确；当＝时，应有||＝||及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；③显然正确．
3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
答案 B
解析 向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错误．
4．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
答案 20,4
解析 当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，
所以最大值为20，最小值为4.
5．如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，作＝a，＝b，连接O′E，则＝a＋b.
知识点二 向量加法的运算律
6.已知下列各式：
①＋＋；②(＋)＋＋；
③＋＋＋；④＋＋＋.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由向量加法的运算法则知①④的结果为0，故选B.
知识点三 向量加法的应用
7.如下图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，O表示出来．
解 由题意，知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形．
由向量的平行四边形法则，知＝＋＝a＋b.
∵＝，∴＝a＋b.
在△AOB中，根据向量的三角形法则，知
＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，
∴＝＋＝2a＋b＋b＝2a＋2b.
＝＋＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
一、选择题
1．已知非零向量a，b，c，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 A
解析 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.
2．向量(＋)＋(＋)＋O化简后等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 (＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.故选C.
3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
4．设|a|＝1，|b|＝1，且p＝a＋b，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,3]
答案 B
解析 因为a，b是单位向量，因此当两个向量同向时，|p|取最大值2，当两个向量反向时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.
5．在▱ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
答案 B
解析 |＋|＝||，|＋|＝||，由||＝||知，四边形ABCD为矩形．
二、填空题
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
答案 2
解析 如图所示，设菱形对角线交点为O.＋＝＋＝.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，∴OB＝1.
在Rt△AOB中，||＝ ＝，
∴||＝2||＝2.
7．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
答案 120°
解析 因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的加法运算可得，四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
8．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则
(1)a＋b＋c表示向________走了________ km；
(2)b＋c＋d表示向________走了________ km；
(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案 (1)南 2 (2)西 2 (3)2 东南
解析 (1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2 km.
(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2 km.
(3)如图①所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南．
三、解答题
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解 ∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝||＝1.
10．已知在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋.
证明 如图，在平面内取点O，连接AO，EO，DO，CO，FO，BO.
＝＋＝＋＋＋，
＝＋，
＝＋＝＋＋＋＋＋.
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＝，＝.
所以＋＝＋＋＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋＋＋O＋B)
＝＋.
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