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课时作业14 正弦定理
知识点一 已知两边及一边的对角解三角形
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 由＝，知＝，即sinB＝.故选B.
2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
答案
解析 由正弦定理，得＝，
即sinC＝＝＝.
由题意可知C为锐角，∴cosC＝＝.
∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin60°cosC－cos60°sinC＝.
知识点二 已知两角及一边解三角形
3.一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是( )
A．3 B．3 C．3 D．2
答案 A
解析 设60°角所对的边的长为x，由＝，得x＝＝＝3，故选A.
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
答案 2
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由＝，得c＝＝＝2.
知识点三 正弦定理的应用
5.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
答案 B
解析 ∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°>bsinC，又c<b，如图，
∴此三角形有两解．
6．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B.等边三角形
C．直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 由正弦定理，acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，即△ABC为等腰三角形.
知识点四 正弦定理与余弦定理的综合应用
7.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
所以sinA＝＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解 (1)由正弦定理，2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入，得bc＝3.
易错点一 忽视三角形中的边角关系
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．± B. C．－ D.
易错分析 本题在求出sinB＝后，对cosB的符号判断不清，误选A或C.
答案 D
正解 根据正弦定理＝，得sinB＝＝，又a＞b，所以角B为锐角，所以cosB＝.故选D.
10．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________.
易错分析 (1)由sinB＝，得B＝30°或150°，而忽视b＝2<a＝2，从而易出错．
(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
答案 30°
正解 由正弦定理，得sinB＝b×＝2×＝.
∵0°<B<180°，∴B＝30°或B＝150°.
∵b<a，根据三角形中大边对大角可知B<A，∴B＝150°不符合条件，应舍去，∴B＝30°.
易错点二 解三角形时忽略对角的讨论
11.已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A，C和边c.
易错分析 本题易出现求出角A的正弦值后默认A为锐角，从而漏解A＝120°的情况．
正解 由正弦定理＝，得＝，
∴sinA＝，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.
∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，
∴c＝＝.
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°.
∵sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，
∴c＝＝.
∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，
c＝.
一、选择题
1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为( )
A．120° B．45° C．30° D．15°
答案 C
解析 由于＝，将AB＝，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝.又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°，所以A＝30°.故选C.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
答案 D
解析 由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝.又c<b，
∴C为锐角，∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°，
∴△ABC为等腰三角形，∴a＝.故选D.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理＝，得sinB＝＝＝>1.∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选D.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案 C
解析 由正弦定理可得＝＝＝2a.
所以sinA＝，又显然A为锐角，可得A＝30°.
所以B＝180°－A－C＝30°，所以a＝b.故选C.
二、填空题
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________.
答案 1
解析 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3，则边b的值为________．
答案 2
解析 因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝＝＝2.
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.若·＝4，则ac的值为________．
答案 12
解析 由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB.化简，得cosB＝.又∵B·B＝accosB＝4，∴ac＝＝12.
三、解答题
9．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解 ∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝，得a＝＝＝10.
由＝，得b＝＝＝20sin75°.
∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，∴b＝20×＝5＋5.
10．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
解 (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)，知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，
sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
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