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课时跟踪检测（九） 基本不等式
A级——学考水平达标练
1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a>>>b B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
解析：选C ∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．3x＋≥
B．3x2＋≥
C．3(x2＋1)＋≥
D．3(x2－1)＋≥
解析：选B A中x可能是负数，不成立；B中当且仅当3x2＝，即x4＝时取等号，成立；C中当3(x2＋1)＝时，(x2＋1)2＝，不成立；D中x2－1也可能是负数，不成立．故选B.
3．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
解析：选B 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
4．若－4<x<1，则( )
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：选D ＝.
又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.
∴＝－≤－1，
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
解析：选C 由题意，得a>0，b>0.∵＝＋≥2＝，当且仅当＝时等号成立，∴ab≥2.
6．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析：设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4 m3，
高为1 m，得另一边长为 m.
记容器的总造价为y元，则
y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2＝160，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
因此当x＝2时，y取得最小值160，
即容器的最低总造价为160元．
答案：160
7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是__________________．
解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
答案：≤
8．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．
解析：∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
答案：4
9．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
10．(1)已知x<3，求＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴＋x的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
B级——高考水平高分练
1．某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )
A．大于10 g B．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
解析：选A 设左、右两臂长分别为b，a，两次放入的黄金的克数分别为x，y，依题意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.∵≥，∴x＋y≥10，又a≠b，∴x≠y.∴x＋y>10，即两次所得黄金大于10 g，故选A.
2．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝，∴9ab＋10≤，∴≥，故＋的最小值为.
答案：
3．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．
解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
4．某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为 m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4)m，长为m.
由得4<x<400，
所以其面积S＝(x－4)·＝808－
≤808－2 ＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝，即x＝40时等号成立．
因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
5．方程x2－px－＝0的两根分别为x1，x2且满足x＋x≤2＋，则p＝________.
解析：由根与系数的关系知
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝p2＋，
x＋x＝(x＋x)2－2xx＝2－≤2＋，即p4＋≤，
又p4＋≥2＝，故p4＋＝，
当且仅当p4＝时等号成立，即p＝±.
答案：±
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