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课时跟踪检测（十七） 幂 函 数
A级——学考水平达标练
1．下列说法：
①幂函数的图象不可能在第四象限；
②n＝0，函数y＝xn的图象是一条直线；
③幂函数y＝xn当n＞0时，是增函数；
④幂函数y＝xn当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的为( )
A．②③ B．③④
C．①② D．①④
解析：选D 当n＝0时，y＝xn的图象为除去一点的直线，②错误；y＝x2不是增函数，③错误，①④显然正确，因此答案选D.
2．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·x的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：选B 由幂函数的定义，可得m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2.当m＝1时，y＝x－2，其图象不过原点；当m＝2时，y＝x0，其图象不过原点．故m＝1或2.
3．已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选B 当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意，故选B.
4．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B 因为f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
5．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
解析：选C 由已知得2a＝，解得a＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C.
6．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
7．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
8．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析：由题意得，m2－m＝3＋m，
即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，此时x∈[－6,6]，
∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，
函数f(x)在[－2,2]上是奇函数，符合题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解：(1)当m2＋m－1＝1，且m2＋2m≠0，即m＝1时，f(x)是正比例函数．
(2)当m2＋m－1＝－1，且m2＋2m≠0，即m＝－1时，f(x)是反比例函数．
(3)当m2＋m－1＝2，且m2＋2m≠0，即m＝时，f(x)是二次函数．
(4)当m2＋2m＝1，即m＝－1±时，f(x)是幂函数．
10．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
解：∵幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.
解得a<－1或<a<.
故a的取值范围为(－∞，－1)∪.
B级——高考水平高分练
1．若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为________．
解析：因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜.故m的取值范围为.
答案：
2．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
解析：设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
答案：③
3．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，
所以4.1＞3.8.
4．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a)＞f(a－1)得
解得1≤a＜.
故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
5．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？
解：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.
即解密后得到的明文是9.
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