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第4课时 三角形中的几何计算
[A 基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
解析：选B.△ABC的面积为absin C＝×4×3×＝3.
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A． B．
C．1 D．2
解析：选A.由cos 2A＝sin A，得1－2sin2 A＝sin A，解得sin A＝或sin A＝－1(舍去)，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×＝.
3．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于( )
A． B．
C．2 D．3
解析：选A.因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，
因为cos A＝，所以sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
4．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10，
所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边的长为7.
5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )
A． B．2
C．2 D．4
解析：选B.因为S＝bcsin A，
所以＝×2csin 120°，所以c＝2，
所以a＝
＝＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，
所以2R＝＝＝4，所以R＝2.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
解析：因为cos C＝，0<C<π，
所以sin C＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×3×2×＝4.
答案：4
7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，
B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
因此AD＝.
答案：
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·ACsin A＝10k2＝10，所以k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈，
所以sin B＝.
由正弦定理＝，
得＝，解得a＝.
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40，
所以a＋c＝2.
10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得
sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.
由(1)知A＋C＝120°，
所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.
因此，△ABC面积的取值范围是.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝2，C＝，且a＋b＝3，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以22＝a2＋b2－2abcos，
即4＝(a＋b)2－3ab，
又a＋b＝3，所以ab＝，
所以S△ABC＝absin＝，故选D.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
又因为b＝6，a＝2c，B＝，
所以36＝4c2＋c2－2×2c2×
所以c＝2，a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
答案：6
13．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C＝.
答案：
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－.
(1)求sin C的值；
(2)若BD＝5，求△ABD的面积．
解：(1)因为 cos∠ADB＝－ ，
所以sin∠ADB＝，
又因为∠CAD＝，
所以∠C＝∠ADB－，
所以 sin C＝sin
＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin
＝×＋×＝.
(2)在△ACD中，由＝，得
AD＝＝＝2.
所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB
＝×2×5×＝7.
[C 拓展探究]
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
解：(1)由题意可知absin C＝×2abcos C.
所以tan C＝，
因为0<C<π，
所以C＝.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin
＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin≤ .
当A＝，
即△ABC为等边三角形时取等号．
所以sin A＋sin B的最大值为.
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