1、第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例A基础达标1某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A500米B600米C700米 D800米解析：选C.由题意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120，所以AB700米，故选C.2若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110米 B112米C220米 D224
2、米解析：选A.如图，设CD为金字塔，AB80米设CDh，则由已知得(80h)h，h40(1)109(米)从选项来看110最接近，故选A.3设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20 m， m B10 m，20 mC10() m，20 m D m， m解析：选A.由题意，知h甲20tan 6020(m)，h乙20tan 6020tan 30(m)4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的速
3、度是()A5 海里/时 B5海里/时C10 海里/时 D10海里/时解析：选D.如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5海里，所以这艘船的速度是10海里/时故选D.5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即这
4、时船与灯塔的距离是5 km.6.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.答案：7湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75方向，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得，BC(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75(km)答案：8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有
5、不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，则塔高AB_ m.解析：在RtABC中，ACB45，设ABh，则BCh，在RtABD中，ADB30，所以BDh，在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22hh，所以h200，所以塔高AB200 m.答案：2009.如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之
6、间的距离解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，由余弦定理，得cosBDC.设ADC，则cos ，sin .在ACD中，由正弦定理，得，所以ADsin(60)15 (km)，即所求的距离为15 km.10空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBx.在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBC
7、cosACB，所以2662x2(x)22xx，所以x38(m)所以气球的高度为38 m.B能力提升11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A.如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50或h
8、100(舍去)，故水柱的高度是50 m.12.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角ADC150，从D处再攀登800米到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 150400213，所以AC400，故索道AC的长为400米答案：40013.如图，某
9、海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为_海里解析：因为AB40，BAP120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023，所以BP40.又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，所以PC40 海里答案：4014.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，1)，直线OB的倾斜角为45，且|OB|.(1)求点B的坐标及线段AB的长度
10、；(2)在平面直角坐标系xOy中，取1厘米为单位长度现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？解：(1)设点B(x0，y0)，依题意x0cos 451，y0sin 451，从而B(1，1)，又A(3，1)，所以ABx轴，则|AB|1(3)|4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则ACt，BCt.由ABx轴及BC的倾斜角为60，得ABC120.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos 120，所以2t216t28t，化简得t24t160，解
11、得t22(舍去)或t22.即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(22)秒C拓展探究15如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30方向，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60方向，俯角为60的C处(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在RtPAB中，APB60，AP1，所以ABAPtan 60.在RtPAC中，APC30，所以ACAPtan 30.在ACB中，CAB306090，所以BC.则船的航行速度为2(千米/时)(2)在ACD中，DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACB，sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30.由正弦定理得，所以AD.故此时船距岛A有千米- 7 -
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
