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课时35 向量在平面几何中的应用
知识点一 向量在平面几何证明问题中的应用
1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点F，在其反向延长线上取点E，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF是平行四边形．
证明 如题图，由向量加法法则知＝＋，＝＋.
又＝，＝，所以＝，即AE綊FC，所以四边形AECF是平行四边形．
2．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．
求证：x0＝，y0＝.
证明 设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝，y4＝.
由平面几何的知识，得＝2，
∴x0＝＝＝，
y0＝＝＝.
知识点二 向量在平面几何计算问题中的应用
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A． B．
C．(3,2) D．(1,3)
答案 A
解析 设D(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2得∴
∴顶点D的坐标为.
4．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B．
C．3 D．
答案 B
解析 BC的中点为D，＝，
∴||＝.
5．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，BE交AD于点G，求及的值．
解 设＝λ，＝μ.
∵AD为BC边上的中线，∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又∵＝，∴＝＋.
∵，不共线，∴解得
∴＝4，＝.
知识点三 向量在平面几何中的综合应用
6.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B．
7．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,2)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．∅
答案 C
解析 令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．
8．如图所示，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．
解 假设存在点D，使得＝＋.
则＝＋(＋)＝＋，－＝，
＝，＝×，即＝.
所以存在点D使＝＋，且点D为靠近点C的线段AC的三等分点.
易错点 不能将平面几何中计算问题转化为向量问题致误
9.设O为△ABC内任一点，且满足＋3＋4＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△BOC的面积之比为________．
易错分析 以上题目的求解中，需要根据向量条件判定几何图形中的平行关系，从而利用面积公式求得比例关系．
答案 8∶1
正解 如图，＋＝2，＋＝2，
∴＋3＋4＝(＋)＋3(＋)＝2(3＋)＝0，
即3＋＝0，∴与共线，
即点D，E，O共线，∴3||＝||，
∴S△BOC＝2S△COD＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即S△ABC∶S△BOC＝8∶1.
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．矩形 D．菱形
答案 B
解析 由＝，可知AD∥BC，且||<||，故四边形ABCD是梯形．
2．已知△MNS的三个顶点M，N，S及平面内一点Q满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．点Q在△MNS的内部
B．点Q在△MNS的边MN上
C．点Q在MN边所在直线上
D．点Q在△MNS的外部
答案 D
解析 由＋＝，所以四边形QMSN为平行四边形．如图，可知点Q在△MNS的外部．故选D．
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB．如果＝3e1，＝3e2，那么 等于( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1＋e2
答案 A
解析 如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是( )
A． B．＋1
C． D．＋1
答案 D
解析 由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．设C(x，y)，
则＝(x，y)．∵＝λ＋μ，
∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．∴
又∵∠AOC＝，OC＝2，
∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，
∴λ＋μ＝＋1.
5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足O＝O＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 B
解析 因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC．故选B．
二、填空题
6．在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.
答案 1
解析 如图，设BC边的中点为D，连接AD，则(＋)＝，＝＋(＋)⇒＝＋⇒－＝⇒＝，因此||＝||＝1.
7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
答案 1∶2
解析 由题意，得5＝＋2，
得2－2＝－－2，
得－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，
则C，P，E三点共线，
连接PE交AB于点O，
则＝2＝4.
所以＝＝＝.
8．如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为________．
答案
解析 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝－＝(4t－3,4t)，＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝，
∴点P的坐标为.
三、解答题
9．求证：顺次连接任意四边形各边中点，构成一个平行四边形．
证明 如图，设M，N，Q，P是四边形ABCD各边的中点，那么－＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋＝0.
∴＝，∴四边形MNQP是平行四边形．
10．如图△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
解 如图，连接AO，
∵＝(＋)
＝(m＋n)
＝＋，
∴＝－A
＝－－
＝－.
＝－，又∵与共线．
存在实数λ，使O＝λ，
即－＝λ－λ，
∴∴1－(m＋n)＝0.∴m＋n＝2.
11．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： ＝(＋)．
证明 证法一：如图1，首先建立直角坐标系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则有＝(x2－x1，y2－y1)，
＝(x3－x4，y3－y4)．∴(＋)
＝.
又∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴E，F，
∴＝，
∴＝(＋)．
证法二：如图2，＝＋＋，①
＝＋＋，②
向量相加得，2＝＋，
∴＝(＋)．
12．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，
则A(0,1)，P，E，F，
∴＝，
＝，
∴||＝
＝ ，
||＝ ＝ ，
∴||＝||，∴PA＝EF.
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