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课时26 向量的加法
知识点一 向量加法的三角形法则
1.已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是( )
A．a＋b＝c B．b＋c＝a
C．a＋c＝b D．|a|＋|b|＝|c|
答案 B
解析 根据向量加法的三角形法则可得b＋c＝a.故选B.
2．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立？( )
A．a与b同向且|a|≥|b|
B．a与b反向且|a|≤|b|
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
答案 D
解析 当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|.
知识点二 向量加法的平行四边形法则
3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
4．如下图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
解 由题意知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形，
由向量的平行四边形法则，知＝＋＝a＋b.
∵＝，∴＝a＋b.
在△AOB中，根据向量的三角形法则，知＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，
∴＝＋＝2a＋b＋b＝2a＋2b.
＝＋＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
知识点三 多个向量相加
5.化简下列各式：
(1) ＋＋＋；
(2) ＋＋；
(3) ＋＋＋.
解 (1)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(2)原式＝(＋)＋＝.
(3)原式＝＋＝＋＝.
6．向量a，b，c，d，e如图所示，据图回答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用a，b，e表示.
解 由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝＋＋＝e＋a＋b.
一、选择题
1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 根据向量加法的运算律解答．
2. 如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B.
C.
D.
答案 D
解析 由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
3．若C是线段AB的中点，则＋等于( )
A． B．
C．0 D．以上均不正确
答案 C
解析 与的模相等而方向相反，因此＋＝0.
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3 C. D．2
答案 D
解析 ∵A＋＝，∴|a＋b＋c|＝|2c|，
∵|c|＝，∴|a＋b＋c|＝2.故选D.
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
答案 B
解析 ∵a与b方向相反，|a|<|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
6．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是 ( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②
答案 A
解析 a＝0，①③正确，②错误；|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，④错误．
二、填空题
7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
答案 20 4
解析 当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，
所以最大值为20，最小值为4.
8．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)
答案 不小于
解析 由性质|a＋b|≤|a|＋|b|，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．
9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
答案 2
解析 如图所示，设菱形对角线交点为O.＋＝＋＝.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵||＝2，∴||＝1.
在Rt△AOB中，||＝ ＝，
∴||＝2||＝2.
三、解答题
10. 如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量
a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，作＝a，＝b，连接O′E，则＝＋＝a＋b.
11．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
解 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝.
∵∠AOB＝120°，| |＝| |，
∴∠BOD＝60°，||＝||.
∵∠BOC＝120°，||＝||，
∴＋＝0，故＋＋＝0.
12. 已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明 连接EF，由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝＋＝0.
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