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课时30 共线向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③ C．② D．③④
答案 A
解析 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；
∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8 B．－8 C．3 D．－3
答案 B
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴即
3. 如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是O的3倍
答案 D
解析 由题意，知＝＋，＝＋＝3＋3＝3，故选D.
知识点二 共线向量基本定理的应用
4.已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3＋5＋2＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为( )
A.S B.S C.S D.S
答案 C
解析 如图，由于3＋5＋2＝0，
则3(＋)＝－2(＋)，
＝.
设AB，BC的中点分别为M，N，
则＝(＋)，＝(＋)，即3＝－2，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．
5．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是________．
答案 A，B，D
解析 ＝＋＝a＋5b，＝，即A，B，D三点共线．
6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
答案 或－2
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴
即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.
7．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△AOC的面积之比为________．
答案 3∶1
解析 如图，＋＝2，＋＝2，
∴＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(2＋)＝0，即2＋＝0，
∴与共线，即D，E，O共线，
∴2||＝||，
∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即＝3.
8．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
证明 如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，
由平行四边形法则得
＝E＝( ＋)．
由于AB∥DC，所以， 共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得＝＋， ＝＋且＋＝0，
∴＝(E＋)＝(E＋＋＋)
＝(＋)＝D，
∴∥.由于E，D不共点，∴EF∥DC∥AB，
又||＝＝(||＋|D|)，
∴EF＝(AB＋DC)，所以结论得证.
易错点 对共线向量基本定理理解不透致误
9.如果向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝________.
易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b＝λa理解不透，误认为向量反向时，参数k的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．
答案 2
正解 因为向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线，
所以k2－4＝0，解得k＝±2，
当k＝－2时，b＝2a，此时a与b方向相同，不符合题意，应舍去，因此k＝2.
一、选择题
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定
答案 B
解析 a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．
∴c与a＋b共线．
2．下面向量a，b共线的有( )
①a＝2e1，b＝－2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)．
A．②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
答案 A
解析 对于①，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于②，a＝－
b，∴a，b共线；对于③，a＝4b，
∴a，b共线；对于④，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝e2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．综上，选A.
3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋ B． ＋＋
C． ＋＋ D．3A＋
答案 C
解析 设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心， ＋＋＝( ＋＋)＝(＋B＋＋＋＋)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与共线．
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 ∵＝λ＋，∴－＝λ，即＝λ.
∴点P，A，C共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
二、填空题
5．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又k>0，所以λ>0，故λ＝1.
6．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为________．
答案
解析 ∵＋＝，＝4，∴＝，
即＝－，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
7．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋P＝A，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由＋＋＝，得＋＝－＝，所以＝2，从而点P在边AC的三等分点处．
三、解答题
8．已知非零向量e1，e2不共线，
(1)如果＝e1＋e2， ＝2e1＋8e2， ＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解 (1)证明：∵＝e1＋e2，B＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴与共线，且AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，且此两向量均为非零向量，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有∴k＝±1.
9．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E.求证：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证E，E′重合即可．
设＝a， ＝b，则＝a， ＝b＋a.
∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，
即＝O，∴O，E′，D三点共线，∴E与E′重合．
∴BE＝BA.
10．已知，是不共线的两个向量，设＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
求证：M，A，B三点共线．
证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ.
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋－λ.
∴－＝λ(－)，
即＝λ(λ∈R)，∴，共线．
又∵BM，BA有公共点B，
∴M，B，A三点共线．
11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
证明 ＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝(λ＋μ)＋λ＋μ，
又点P在直线AB上，不妨设＝k，
则(λ＋μ－1)＋(λk＋μ)＝0
又与不共线，故
得λ＋μ＝1.
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)＝＋＝a＋
＝a＋－＝b＋a，
＝＝b＋a，
＝＝b，
＝－＝b＋a－a
＝b－a.
(2)证明：＝－＝－＝b－a，
＝b－a，
∴＝，故∥，
又BF与BE有公共点B，∴B，E，F三点共线．
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