1、课时30共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()2a3b4e且a2b2e；存在相异实数，使ab0；xayb0(其中实数x，y满足xy0)；已知梯形ABCD，其中a，b.A B C D答案A解析由2a3b2(a2b)得到b4a，故可以；ab0，ab，故可以；当xy0时，有xayb0，但b与a不一定共线，故不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故不可以2已知e1，e2不共线，若a3e14e2，b6e1ke2，且ab，则k的值为()A8 B8 C3 D3答案B解析ab，存在实数m，使得amb，即3e14e26me
2、1mke2，即3. 如图所示，已知3，3，则向量与的关系为()A共线B同向C共线且同向D共线、同向，且的长度是O的3倍答案D解析由题意，知，333，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P是ABC所在平面内的一点，且3520，设ABC的面积为S，则PAC的面积为()A.S B.S C.S D.S答案C解析如图，由于3520，则3()2()，.设AB，BC的中点分别为M，N，则()，()，即32，则点P在中位线MN上，则PAC的面积是ABC的面积的一半5设(a5b)，2a8b，3(ab)，则共线的三点是_答案A，B，D解析a5b，即A，B，D三点共线6已知e1，e2是两个不共线的向量
3、，ak2e1e2与b2e13e2是两个平行的向量，则k_.答案或2解析ab，存在实数m，使得amb，k2e1e2m(2e13e2)，即3k25k20，k或2.7设O为ABC内任一点，且满足230，且D，E分别是BC，CA的中点，则ABC与AOC的面积之比为_答案31解析如图，2，2，23()2()2(2)0，即20，与共线，即D，E，O共线，2|，SAOC2SCOE2SCDE2SABCSABC，即3.8已知梯形ABCD，ABDC，E，F分别是AD，BC的中点用向量法证明：EFAB，EF(ABDC)证明如图，延长EF到点M，使FMEF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，由平行四边
4、形法则得E( )由于ABDC，所以， 共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数，使.由三角形法则得， 且0，(E)(E)()D，.由于E，D不共点，EFDCAB，又|(|D|)，EF(ABDC)，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a(k，1)与b(4，k)共线且方向相反，则k_.易错分析出错的根本原因是对共线向量基本定理ba理解不透，误认为向量反向时，参数k的值应该为负值，实质应是的值为负值答案2正解因为向量a(k，1)与b(4，k)共线，所以k240，解得k2，当k2时，b2a，此时a与b方向相同，不符合题意，应舍去，因此k2.一、选择题1已知向量ae12e2，
5、b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线 B共线 C相等 D不确定答案B解析ab3e1e2，c6e12e22(ab)c与ab共线2下面向量a，b共线的有()a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2(e1，e2不共线)A BC D答案A解析对于，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于，ab，a，b共线；对于，a4b，a，b共线；对于，若a，b共线，则存在一实数，使得ba，即2e12e2(e1e2)，得(2)e1(2)e2，当2时，得e20，e1，e2共线，矛盾，当2时，e1e2，则e1，e2
6、共线，矛盾故a与b不共线综上，选A.3若M是ABC的重心，则下列各向量中与共线的是()A B C D3A答案C解析设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是ABC的重心， ( )(B)0，而零向量与任何向量共线，所以与共线4点P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则点P一定在()AABC内部 BAC边所在的直线上CAB边所在的直线上 DBC边所在的直线上答案B解析，即.点P，A，C共线点P一定在AC边所在的直线上二、填空题5已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_答案1解析由于c与d同向，所以可设ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abk
7、a(2kk)b.由于a，b不共线，所以整理得2210，所以1或.又k0，所以0，故1.6在ABC中，点D在BC边上，且4，rs，则3rs的值为_答案解析，4，即，r，s，3rs.7已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA，则点P在边AC的_等分点处答案三解析由，得，所以2，从而点P在边AC的三等分点处三、解答题8已知非零向量e1，e2不共线，(1)如果e1e2， 2e18e2， 3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解(1)证明：e1e2，B2e18e23e13e25(e1e2)5.与共线，且AB与BD有公共点B，A，B，D
8、三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，且此两向量均为非零向量，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.9如图，平行四边形OACB中，BDBC，OD与BA相交于E.求证：BEBA.证明如图，设E是线段BA上的一点，且BEBA，只要证E，E重合即可设a， b，则a， ba.b，a，3，3(b)a，(a3b)，即O，O，E，D三点共线，E与E重合BEBA.10已知，是不共线的两个向量，设，且1，R.求证：M，A，B三点共线证明1，1.(1).()，即(R)，共线又BM，BA有公共点B，M，B，A三点共线11如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且(，R)，求证：1.证明()()()，又点P在直线AB上，不妨设k，则(1)(k)0又与不共线，故得1.12如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解(1)aaba，ba，b，baaba.(2)证明：ba，ba，故，又BF与BE有公共点B，B，E，F三点共线- 9 -
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