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课时34 向量平行的坐标表示
知识点一 向量共线的判断
1.判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
解 解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，
∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b．
解法二：(1)∵≠，∴a与b不平行．
(2)∵＝，∴a∥b．
知识点二 向量共线的应用
2.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 D
解析 ∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D．
3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案 －1
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，
得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解 (1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
知识点三 三点共线问题
5.已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0 B．1－
C．1＋ D．
答案 C
解析 ＝(2，a2)－(1，－a)＝(1，a2＋a)，＝(3，a3)－(1，－a)＝(2，a3＋a)，又∥，故2(a2＋a)－1(a3＋a)＝0，得a3－2a2－a＝0，∵a＞0，∴a2－2a－1＝0，得a＝＝1±，又a＞0，得a＝＋1.
6．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
7．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴
∴即点C的坐标为(5，－3).
易错点 忽略零向量致错
8.已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
答案 0或5
正解 由a∥b，得3×(－m)－m×(2－m)＝0，即m2－5m＝0，
解得m＝0或m＝5.
故m的值是0或5.
一、选择题
1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6 B．－6
C． D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( )
A．2 B．
C．－2 D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴sinα＝2cosα，则tanα＝2.
3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8) B．(1,3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案 C
解析 设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得解得故点M的坐标为(3,1)．
4．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
答案 C
解析 易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；
若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.
显然k不存在．故a不平行于d，
当k＝±1时，e＝0与a平行．
5．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2) D．a＝(－4，－8)
答案 D
解析 ＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
二、填空题
6．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，
∴x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
答案 或
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．
由⇒
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
8．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题意得，6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，
∴Δ＝4－4(－a)·1＝4＋4a≥0，故a≥－1.
9．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
答案
解析 ∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－3－m)，
∴＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3×(1－m)＝(2－m)×1，
解得m＝.
三、解答题
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
11．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
解 λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝＝，
即λa－b＝－(a＋2b)．
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
12．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解 如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6，6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF∶FC＝2∶1，∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.
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