2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.2向量的加法课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.1.2　向量的加法
课后篇巩固提升
夯实基础
1.已知正六边形ABCDEF中,BA+CD+FE=(　　)
A.0 B.BE
C.AD D.CF
答案B
解析BA+CD+FE=BA+AF+FE=BE.
2.在四边形ABCD中,AC=AB+AD,则(　　)
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
答案D
解析由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD必为平行四边形.
3.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)
A.AD B.12AD C.BC D.12BC
答案A
解析EB+FC=12(AB+CB)+12(AC+BC)=12(AB+AC)=AD,故选A.
4.若向量a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则(　　)
A.a∥b且a与b方向相同
B.a,b是共线向量,且方向相反
C.a+b=0
D.a与b的关系无法确定
答案A
解析因为|a+b|=|a|+|b|,所以由向量加法的三角形法则知,a∥b且a与b方向相同.
5.若G为△ABC的重心,D为边BC的中点,则GD=μGA,μ=　　　　　,GA+GB+GC=　　　　　. 
答案-12　0
解析延长AG至E交BC于D使得AG=GE,则由重心性质知D为GE中点,又为BC中点,故四边形BGCE为平行四边形.所以GE=GB+GC.又GA=-GE,所以GA+GB+GC=0,GD=-12GA,故μ=-12.
6.在平行四边形ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则四边形ABCD是　　　　　. 
答案矩形
解析由图知|BC+BA|=|BD|.又|BC+AB|=|AD+AB|=|AC|,所以|BD|=|AC|.所以四边形ABCD为矩形.

7.

如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.
求证:AB+AC=AP+AQ.
证明AB=AP+PB,AC=AQ+QC,
所以AB+AC=AP+PB+AQ+QC.
因为PB和QC大小相等、方向相反,
所以PB+QC=0,
故AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ.
8.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且|AB|=|AD|=1,OA+OC=OB+OD=0,cos∠DAB=12.求|DC+BC|与|CD+BC|.
解∵OA+OC=OB+OD=0,
∴OA=CO,OB=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又|AB|=|AD|=1,知四边形ABCD为菱形,
又cos∠DAB=12,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形.
∴|DC+BC|=|AB+AD|=|AC|=2|AO|=3,
|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.
能力提升
1.如图,正方形ABCD中,E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=(　　)

A.12AB+12AD
B.-12AB-12AD
C.-12AB+12AD
D.12AB-12AD
答案D
解析因为E是CD的中点,所以EC=12AB,得F是BC的中点,所以CF=12CB=-12AD,
所以EF=EC+CF=12AB-12AD,故选D.
2.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB+AC=2AO,且|AO|=|AC|,则△ABC的面积为(　　)
A.3 B.32 C.23 D.1
答案B
解析由于AB+AC=2AO,由向量加法的几何意义,O为边BC中点,∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=π2,斜边BC=2,
又∵|AO|=|AC|,∴|AC|=1,|AB|=3,
∴S△ABC=12×|AB|×|AC|=12×1×3=32,故选B.
3.(多选)设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为(　　)
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;
A.① B.② C.③ D.④
答案AC
解析因为a=(AB+CD)+(BC+DA)=AB+BC+CD+DA=AD+DA=0,所以①③正确.
4.如图所示,已知在矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c.则|a+b+c|=　　　　　. 

答案83
解析a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD.
延长BC至E,使CE=BC,连接DE,

由于CE=BC=AD,CE􀱀AD,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AC=DE,∴AC+BD=DE+BD=BE,
∴|a+b+c|=|BE|=2|BC|=2|AD|=83,故答案为83.
5.已知向量a,b,c,d分别表示下列位移:“向北10 km”“向南5 km”“向西10 km”“向东5 km”.请说明向量a+b,b+b,a+c,a+b+b,a+d+d的意义.
解(1)a+b表示“向北5km”;
(2)b+b表示“向南10km”;
(3)a+c表示“向西北102km”;
(4)a+b+b表示“位移为0”;
(5)a+d+d表示“向东北102km”.
6.在水流速度为10 km/h的河中,如果要使船以17.3 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向.(取3=1.73)
解如图所示.

设AB=10km/h,AC=17.3km/h.
在Rt△ABC中,|BC|=|AB|2+|AC|2　=102+17.32=20(km/h).
又cos∠ABC=|AB||BC|=1020=12,所以∠ABC=60°.
所以,船的实际航行速度大小为20km/h,与水流的方向成120°角.

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