1、3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点A基础达标1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m1623x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为()A.40元/件B.42元/件C.54元/件 D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y元，则y(x30)(1623x)3(x42)2432，所以当x42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A. cm2 B.4 cm2C.3 c
2、m2 D.2 cm2解析：选D.设一段长为x cm，则另一段长为(12x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0x12.则S(x6)22，当x6时，Smin2.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为()A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米 D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y由y16m，得x10，所以2mx10m16m.解得x13.故
3、选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸()A.215份 B.350份C.400份 D.520份解析：选C.设每天从报社买进x(250x400，xN)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表.数量/份单价/元金额/元买进30x260x卖出20x10250360x7 500退回10(x250)0.88x2 000y(60x7 500)(8
4、x2 000)60x8x5 500(250x400，xN).因为y8x5 500在250，400上是增函数，所以当x400时，y取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C.5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费ykv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k，费用总和为1010248，当且仅当v，即v40时取等号.答案：
5、406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.季度1234每千克售价(单位：元)19.5520.0520.4519.95某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为.解析：设y(m19.55)2(m20.05)2(m20.45)2(m19.95)24m22(19.5520.0520.4519.95)m19.55220.05220.45219.952，则当m20时，y取最小值.答案：207.如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.
6、若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是.解析：当0x1时，APx，也就是yx.当1x2时，AB1，ABBPx，BPx1，根据勾股定理，得AP2AB2BP2，所以yAP.当2x3时，AD1，DP3x，根据勾股定理，得AP2AD2DP2，所以yAP.当30)，则(1x)21 690，所以1x，因此2018年预计经营总收入为1 300(万元).答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为
7、21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得所以y关于x的函数解析式为y(2)当x3.5时，y33.537.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x1524，解得x6.5.故该用户最多可以用6.5 t水. 12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关
8、系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式Pf(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f(t).由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g(t)(t150)2100，0t300.(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)f(t)g(t)，即h(t).当0t200时，整理，得h(t)(t50)2100，当t50时，
9、h(t)取得最大值100；当200t300时，整理，得h(t)(t350)2100，当t300时，h(t)取得最大值87.5.综上，当t50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.C拓展探究13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mgL1)满足ymf(x)，其中f(x).当药剂在水中释放的浓度不低于4 mgL1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mgL1且不高于10 mgL1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m4时，y.当04时，由4，得2x284(x1)，得4x16 .综上，0x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0x7，ymf(x)，当0x4时，y2m在区间(0，4上单调递增，则2m4时，y，其在区间(4，7上单调递减，则y3m.综上，y3m.为使4y10恒成立，只要满足4且3m10，即m，所以应该投放的药剂量m的最小值为.- 7 -
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