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课时28 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1.已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|·a
C．|λa|＝|λ|·|a| D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
解 (1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．
由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．
知识点二 数乘运算的运算律
3.化简下列各式：
(1)×6a；(2)(－3)××8a；
(3)7×a.
解 (1)×6a＝a＝2a.
(2)(－3)××8a＝×8a＝a＝－6a.
(3)7×a＝a＝－a.
4．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝e，b＝－e；
(4)a＝e，b＝－e.
解 (1)a＝3e＝×(－6)e，故a＝－b.
(2)a＝8e＝×16e，故a＝b.
(3)a＝e＝(－2)×e，故a＝－2b.
(4)a＝e＝×e，故a＝－b.
知识点三 数乘向量的应用
5.如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，
∴a与b共线且方向相反．
6．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
解 由＝－2e，得e＝－，
由＝3e，得e＝，
故－＝，∴＝－.
即与平行，又AB与AC有公共点A，
∴A，B，C三点共线，又||＝||，
∴AB∶AC＝2∶3.
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ
答案 B
解析 A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，应等于|λ|.故选B.
2．3×8×a＝( )
A．－2a B．8a C．－6a D．4a
答案 C
解析 3×8×a＝24×a＝－6a，故选C.
3．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－2
答案 C
解析 由a＝－e，得e＝－a，故b＝e＝×a＝－a，所以λ＝－.故选C.
4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
5．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵＝3e1，＝－5e1，∴＝－，∴与平行，且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
二、填空题
6．下列说法正确的个数为________．
①任意两个单位向量都相等；
②与a同向的单位向量是；
③2020 cm长的有向线段不可能表示单位向量；
④所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆．
答案 1
解析 ①错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；②错误，若a＝0，则没有相应的单位向量；③错误，一个单位长度取2020 cm时，2020 cm长的有向线段恰好表示单位向量；④显然正确．
7．若＝，＝λ，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 ＝，如图．
结合图形可知＝－.
故λ＝－.
8．已知点C在线段AB上，且＝，则＝____.
答案
解析 如图，因为＝，且点C在线段AB上，
则与同向，且||＝||，故＝.
9．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 画出图形如图所示．
∵＝2，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．
又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
三、解答题
10．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
解 将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量2a，a，－3a，－a，如图所示．
11．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以＝3，＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
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