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第二课
考点突破·素养提升
素养一 逻辑推理
角度 不等式的性质及其应用
【典例1】如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定成立的是( )
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
【解析】选C.c<b<a,ac<0⇒a>0,c<0.
对于A:⇒ab>ac,A正确.
对于B:⇒c(b-a)>0,B正确;
对于C:⇒cb2≤ab2,即C不一定成立.
对于D:ac<0,a-c>0⇒ac(a-c)<0,D正确.
【类题·通】
不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础,应注意准确应用,保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件,以防推理出错.
素养二 直观想象
角度 解一元二次不等式
【典例2】在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,x2-x-1=-≥-,所以-≥a2-a-2,-≤a≤.
【类题·通】
解一元二次不等式要紧密联系二次函数与一元二次方程的知识,利用数形结合的数学思想,使解题更加直观.
【加练·固】
对于x∈R,不等式x2-2x+3-m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】不妨设f(x)=x2-2x+3-m,其图象是开口向上的抛物线,为了使f(x)≥0(x∈R)恒成立,只需对应方程的Δ≤0,即(-2)2-4(3-m)≤0,解得m≤2,所以m∈
(-∞,2].
素养三 数学运算
角度1 基本不等式的实际应用
【典例3】某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,如平面图所示.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计.
(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示,单位为米)的函数,并求出最低造价.
(2)若要求网箱的长与宽都不能超过15米.则当网箱的长与宽各为多少米时,可使总造价最低(精确到0.01米).
【解析】(1)y=112+96+100×160=320×+16000≥26240.此时,x=,即x=16时,取得最小值.最小值为26240元.
(2)因为所以10≤x≤15.
设g(x)=x+,
任取x1,x2∈,且x1<x2,
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2),
因为10≤x1<x2≤15,
所以x1-x2<0,1-<0,
所以g(x1)>g(x2),
所以g(x)在上是单调递减的.
所以当x=15时,g(x)有最小值.
故当网箱长为15米,宽约为10.67米时可使总造价最低.
【类题·通】
解决基本不等式的实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,解题时,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.
【加练·固】
某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),若要使其营运的年平均利润最大,则每辆客车需营运 ( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11.又图象过点(4,7),代入得7=a(4-6)2+
11,解得a=-1,所以y=-x2+12x-25.设年平均利润为m,则m==-x-+12≤2,当且仅当x=,即x=5时取等号.
角度2 一元二次不等式的实际应用
【典例4】某商品的成本价80元/件,售价100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.
(2)若再要求该商品一天营业额至少10260元,求x的取值范围.
【解析】(1)依题意y=100·100.
又售价不能低于成本价,
所以100-80≥0,解得x≤2,
所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x)(0≤x≤2).
(2)20(10-x)(50+8x)≥10260,
化简得:8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又x∈[0,2],
所以x的取值范围为.
【类题·通】
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系,来列不等式.
【加练·固】
某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块(如图),计划把矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米.
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式.
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内?
【解析】(1)根据题意,得△NDC与△NAM相似,
所以=,
即=,解得AD=20-x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S=20x-x2(0<x<30).
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,即20x-x2≥144,化简得x2-30x
+216≤0,
解得12≤x≤18,所以AB的长度取值范围为[12,18].
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