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第三课
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 函数的概念
【典例1】有以下判断：
①f(x)=与g(x)=表示同一函数；
②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有1个；
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数；
④若f(x)=|x-1|-|x|，则f=0.
其中正确判断的序号是________.
【解析】对于①，由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)=的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x=1不是y=f(x)定义域内的值，则直线x=1与y=f(x)的图像没有交点，如果x=1是y=f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x=1与y=f(x)的图像只有一个交点，即y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f=-=0，所以f=f(0)=1.
综上可知，正确的判断是②③.
答案：②③
【类题·通】
关于同一个函数的判断
(1)判断定义域对应关系是否相同.
(2)对应关系是对于自变量的一种运算法则，一是与自变量为x或t无关，二是可以化简变形后相同.
【加练·固】
(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A.f(x)=|x|，g(x)=
B.f(x)=，g(x)=()2
C.f(x)=，g(x)=x+1
D.f(x)=·，g(x)=
(2)下列四个图像中，是函数图像的是 ( )
A.① B.①③④ C.①②③ D.③④
【解析】(1)选A.A中，g(x)=|x|，所以f(x)=g(x).B中，f(x)=|x|(x∈R)，g(x)=x(x≥0)，
所以两函数的定义域不同.
C中，f(x)=x+1(x≠1)，g(x)=x+1(x∈R)，
所以两函数的定义域不同.
D中，f(x)=·(x+1≥0且x-1≥0)，
f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)=(x2-1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.
所以两函数的定义域不同.
(2)选B.由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图像，①③④是函数图像.
角度2 求函数的解析式
【典例2】(1)已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5，则f(x)=________.
(2)已知f(x)满足2f(x)+f=3x-1，则f(x)=________.
【解析】(1)方法一：(换元法)令2x+1=t(t∈R)，则x=，
所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R)，
所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
方法二：(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9，
所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
方法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，
所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c
=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.
因为f(2x+1)=4x2-6x+5，所以
解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
答案：x2-5x+9(x∈R)
(2)已知2f(x)+f=3x-1，①
以代替①式中的x(x≠0)，得2f+f(x)=-1②
①×2-②得3f(x)=6x--1，
故f(x)=2x--(x≠0).
答案：2x--(x≠0)
【类题·通】
求函数解析式的常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程法：已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【加练·固】
(1)已知f(x)+3f(-x)=2x+1，则f(x)=________.
(2)已知f(+1)=x+2，求f(x)的解析式.
【解析】(1)由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1，解方程组得f(x)=-x+.
答案：-x+
(2)方法一：设t=+1，则x=(t-1)2(t≥1).
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)
=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
所以f(x)=x2-1(x≥1).
方法二：因为x+2=()2+2+1-1
=(+1)2-1，
所以f(+1)=(+1)2-1(+1≥1)，
即f(x)=x2-1(x≥1).
素养二 逻辑推理
【典例3】(1)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间.
(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于 ( )
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
【解析】(1)由于y=
即y=画出函数图像如图所示，
单调递增区间为(-∞，-1]和[0，1]，单调递减区间为[-1，0]和[1，+∞).
(2)选A.方法一：令g(x)=x5+ax3+bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10，所以g(-2)=18，
所以g(2)=-g(-2)=-18.
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
方法二：由已知条件，得
①+②得f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10，
所以f(2)=-26.
【类题·通】
定函数单调性的注意点
(1)定义法：证明函数单调性只能用定义法.
(2)图像法：作出图像观察，但图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.
【加练·固】
(1)已知函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，若f(a2-a)>f(a+3)，则实数a的取值范围为________.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，-1)∪(2，+∞)
B.(-1，2)
C.(-2，1)
D.(-∞，-2)∪(1，+∞)
【解析】(1)由已知可得
解得-3<a<-1或a>3.
所以实数a的取值范围为(-3，-1)∪(3，+∞).
答案：(-3，-1)∪(3，+∞)
(2)选C.因为f(x)是奇函数，
所以当x<0时，f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R上的增函数，由f(2-a2)>f(a)，得2-a2>a，解得-2<a<1.
素养三 数学建模
【典例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
【解析】(1)由已知条件得C(0)=8，则k=40，
因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70(万元)，当且仅当6x+10=，即x=5时等号成立.
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.
【类题·通】
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
【加练·固】
1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( )
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
2.为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域.
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解析】1.选D.对于A选项，从题图中可以看出，当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误.对于B选项，由题图可知甲车消耗汽油最少.对于C选项，甲车以
80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误.对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
故用丙车比用乙车更省油，所以D正确.
2.(1)当x≤6时，y=50x-115，
令50x-115>0，解得x>2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.
当x>6时，y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.
令-3x2+68x-115>0，有3x2-68x+115<0，结合x为整数得6<x≤20.
故y=
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x=6时，ymax=185，
对于y=-3x2+68x-115
=-3+(6<x≤20，x∈Z)，
当x=11时，ymax=270.
因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.
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