2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十八复数的乘除运算新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十八
复数的乘、除运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(2019·潍坊高二检测)设复数z1=1+2i，z2=2-i，i为虚数单位，则z1z2= (　　)
A.4+3i B.4-3i
C.-3i D.3i
【解析】选A.z1z2=(1+2i)(2-i)=4+3i.
【加练·固】
　　 复数(1+i)2(2+3i)的值为 (　　)
A.6-4i　　　　　 B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
【解析】选D.(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.
2.已知复数z=1+i，则等于(　　)
A.2i B.-2i
C.2 D.-2
【解析】选A.====2i.
3.(2019·合肥高二检测)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则= (　　)
A.2-3i B.2+3i
C.3+2i D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i，
所以=2-3i.
【加练·固】
　　 已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z= (　　)
A.-2-i　　　　　 B.-2+i
C.2-i D.2+i
【解析】选C.z-1==1-i，
所以z=2-i.
4.(多选题)已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z·=4，则a= (　　)
A.-1 B.1 C.- D.
【解析】选A、B.因为z=a+i，
所以=a-i，则z·=(a+i)(a-i)
=a2+3=4，解得a=1或-1.

二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2019·绍兴高二检测)已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为______________. 
【解析】z=(2-i)2=3-4i，=3+4i.
答案：3+4i
【加练·固】
　　 设复数z=1+i，则z2-2z=______________. 
【解析】因为z=1+i，
所以z2-2z=z(z-2)=(1+i)(1+i-2)
=(1+i)(-1+i)=-3.
答案：-3
6.(2019·舟山高二检测)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi)=a，则的值为______________. 
【解析】因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a，
又a，b∈R，所以1+b=a且1-b=0，得a=2，b=1，所以=2.
答案：2
【加练·固】
　　 若=1-bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=______________. 
【解析】因为a，b∈R，且=1-bi，
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i，
所以　所以
所以|a+bi|=|2-i|==.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)计算：(1)(1-i)(-1+i)+(-1+i).
(2)(1+i).
【解析】(1)原式=-1+i+i-i2-1+i=-1+3i.
(2)原式=(1+i)=1+i.
【加练·固】
　　 计算：+.
【解析】因为=
==i-1，
　===-i，
所以+=i-1+(-i)=-1.
8.(14分)(2019·株洲高二检测)已知为z的共轭复数，若z·-3i=1+3i，求z.
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，
则=a-bi(a，b∈R)，
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i，
即a2+b2-3b-3ai=1+3i，
则有
解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·福州高二检测)计算+的值是 (　　)
A.0 B.1 C.i D.2i
【解析】选D.原式=+
=+
=+i=+i=+i=2i.
2.(4分)设a是实数，且∈R，则实数a= (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.-2
【解析】选B.因为∈R，
所以不妨设=x，x∈R，
则1+ai=(1+i)x=x+xi，
所以有所以a=1.
【加练·固】
　　 若a为正实数，i为虚数单位，||=2，则a= (　　)
A.2　　　B.　　　C.　　　D.1
【解析】选B.因为=(a+i)(-i)=1-ai，
所以=|1-ai|==2，
解得a=或a=-(舍).
3.(4分)(2019·梅州高二检测)(1+i)20-(1-i)20的值等于_______.  
【解析】因为(1+i)20-(1-i)20
=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10
=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
答案：0
4.(4分)若z1=a+2i，z2=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为______________.  
【解析】==
==，
因为为纯虚数，所以所以a=.
答案：
【加练·固】
　　 设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为______________. 
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，
则z2=a2-b2+2abi=3+4i，
所以解得或
所以|z|==.
答案：
5.(14分)(2019·滁州高二检测)设a，b为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i，求a和b.
【解析】设a=x+yi，b=x-yi(x，y∈R)，
则(a+b)2-3abi
=(x+yi+x-yi)2-3(x+yi)(x-yi)i
=4x2-3i(x2+y2)
=4-6i.
所以解得
所以或或
或
【加练·固】
　　 设复数z=，若z2+<0，求纯虚数a.
【解析】由z2+<0可知z2+是实数且为负数.
z====1-i.
因为a为纯虚数，
所以设a=mi(m∈R且m≠0)，则
z2+=(1-i)2+
=-2i+=-+i<0，
所以所以m=4，所以a=4i.

1.已知复数z满足(3+4i)z=5i2 020(i为虚数单位)，则|z|=______.  
【解析】由(3+4i)z=5i2 020，
得z===
==，
所以|z|==1.
答案：1
2.复数z=且|z|=4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值.
【解析】z=(a+bi)
=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.
由|z|=4，得a2+b2=4，①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z-|=|z|.
把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1.②
又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②得
故所求值为a=-，b=-1.

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