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课时素养评价 九
幂 函 数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为
( )
A.-1 B.3
C.-1或3 D.1或-3
【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1,
解得m=3或m=-1;又m2+m-1>0,
所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.
【加练·固】
已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为 ( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2
【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,
所以
解得
所以m的值为-1.
2.函数y=的图像是 ( )
【解析】选B.幂函数过点(1,1),排除A,D,当x>1时,<x.
3.(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点,则幂函数f(x)具有的性质是
( )
A.在其定义域上为增函数
B.在(0,+∞)上为减函数
C.奇函数
D.定义域为R
【解析】选B、C.设幂函数f(x)=xa(a为常数),
因为幂函数图像过点(27,),
所以f(x)=,所以由f(x)的性质知,
f(x)是奇函数,定义域为,
在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递减函数.
4.若幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),设m=,n=,t=-loga3,则m,n,t的大小关系是 ( )
A.m>t>n B.n>t>m
C.t>m>n D.m>n>t
【解析】选D.幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),
所以3a=9,a=2;
所以m==,n==,
t=-loga3=-log23<0,
所以>>-log23,所以m>n>t.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2019·池州高一检测)已知点在幂函数y=f(x)的图像上,则f(x)的解析式是________,f=________.
【解析】设幂函数y=f(x)=xα,α为常数;
把点的坐标代入解析式,
得=,解得α=3,
所以幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3.
f==-.
答案:f(x)=x3 -
6.已知幂函数f(x)=xα的图像过点,则函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值是________.
【解析】由幂函数f(x)=xα的图像过点,
可得2α=,解得α=-1,即有f(x)=,
函数g(x)=(x-1)f(x)==1-在区间上单调递增,
则g(x)的最小值为g=1-2=-1.
答案:-1
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(4,m)和(2,8).
(1)求m的值.
(2)求函数g(x)=在区间[-1,2]上的值域.
【解析】(1)设幂函数y=f(x)=xα,α为常数,
其图像过点(4,m)和(2,8),
所以2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3,
所以m=f(4)=43=64,
即m的值是64.
(2)由题意知,x∈[-1,2]时f(x)=x3∈[-1,8],
所以g(x)=∈,
所以g(x)在[-1,2]上的值域是.
8.(14分)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图像关于原点对称,且在R上单调递增.
(1)求f(x)解析式.
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.
【解析】(1)幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图像关于原点对称,
且在R上单调递增,可得9-3m>0,
解得m<3,m∈N*,可得m=1,2,
若m=1,则f(x)=x6的图像不关于原点对称,舍去;若m=2,则f(x)=x3的图像关于原点对称,且在R上单调递增,成立.则f(x)=x3.
(2)由(1)可得f(x)是奇函数,且在R上单调递增,
由f(a+1)+f(3a-4)<0,
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),
即为a+1<4-3a,解得a<.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(,2),且f(m-2)>1,则m的取值范围是( )
A.m<1或m>3 B.1<m<3
C.m<3 D.m>3
【解析】选D.设幂函数f(x)=xα(α为常数),由它的图像过点(,2),可得()α=2,解得α=3,所以f(x)=x3;
再根据f(m-2)>1,得(m-2)3>1,
解得m>3,所以m的取值范围是m>3.
2.(4分)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图像过点(2,4),则函数g(x)= loga(x+m)的单调增区间为 ( )
A.(-2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(2,+∞)
【解析】选B.由题意得:m+2=1,解得:m=-1,
故f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得,2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),令x-1>0,解得x>1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.
3.(4分)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图像可能是 ( )
【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-是减函数,且在y轴上的截距为->0,y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以B,D均错误.对于A,C,若a>0,则y=ax-是增函数,且-<0,y=xa在(0,+∞)上是增函数,所以A错误.
4.(4分)为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是________.
【解析】由题目可知加密密钥y=xα(α为常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,
则y=.由=3,得x=9,即明文是9.
答案:9
5.(14分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意m2-5m+7=1,解得m=2或3,
因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,
g(x)的对称轴是x=,
若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<<3,解得:2<a<6.
1.(2019·南充高一检测)若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为
( )
A.-3 B.- C.3 D.
【解析】选D.设f(x)=xα(α为常数),
因为满足=3,所以=3,所以α=log23,
所以f(x)=,则f==.
2.已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式.
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).
因为幂函数g(x)过点,
所以2α=,解得:α=-1,所以g(x)=.
(2)由(1)得:f(x)=x2+.
①当a=0时,f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),
可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时,由于
f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),
且f(-x)=(-x)2+=x2-
≠-=-f(x),
所以f(x)是非奇非偶函数.
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