资源描述
1.1.1 集合及其表示方法
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 因为集合S＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D.
2．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
答案 D
解析 A中应是xy<0；B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x<5}；C中的“{ }”与“全体”意思重复．故选D.
3．下列集合恰有两个元素的是( )
A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x}
C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x}
答案 C
解析 A为一个方程集，只有一个元素；B为方程y＝x2－x的定义域，有无数个元素；C为方程y2－y＝0的解，有0,1两个元素；D为函数y＝x2－x的值域，有无数个元素．故选C.
4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
答案 C
解析 根据已知条件，列表如下：
根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1,2}，因此集合B中共含有5个元素．故选C.
5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是( )
A．a≠2 B．a＞2
C．a≥2 D．a＝2
答案 C
解析 因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2，故选C.
二、填空题
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.
答案 {4,9,16}
解析 由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．
答案 a＝0或a≤－
解析 当a＝0时，A＝{x|x＝－}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的a的取值范围是a＝0或a≤－.
8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案 6
解析 根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．故答案为6.
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的偶数的集合；
(2)被3除余1的正整数的集合；
(3)一次函数y＝2x－3图像上所有点的集合；
(4)方程组的解集．
解 (1){－2,0,2}．
(2){m|m＝3n＋1，n∈N}．
(3){(x，y)|y＝2x－3}．
(4){(0,1)}．
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
B级：“四能”提升训练
1．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解 (1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)不一定．
证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则 a＋b＝3(k＋l)＋3.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，
此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；
当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
2．设实数集S是满足下面两个条件的集合：
①1∉S；②若a∈S，则∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．
解 (1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0.
由a∈S，则∈S可得∈S，
即＝＝1－∈S.
故若a∈S，则1－∈S.
(2)由2∈S，知＝－1∈S；
由－1∈S，知＝∈S，
当∈S时，＝2∈S，
因此当2∈S时，S中必含有－1和.
(3)证明：由(1)，知a∈S，∈S,1－∈S.
下证：a，，1－三者两两互不相等．
①若a＝，则a2－a＋1＝0，无实数解，
∴a≠；
②若a＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，
∴a≠1－；
③若＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，
∴≠1－.
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．
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