1、课时作业35直线与平面垂直的判定知识点一直线与平面垂直的判定1.下列说法中正确的个数是()点到平面的距离是指这个点到这个平面的垂线段；过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面A1 B2 C3 D4答案B解析由点到平面的距离的概念及直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是，故选B.2如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()APABC BBC平面PA
2、CCACPB DPCBC答案C解析由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PABC，故排除A.由题意可知BCAC，PABC.因为PA平面PAC，AC平面PAC，ACPAA，所以BC平面PAC，故排除B.结合B，根据直线与平面垂直的定义知BCPC，故排除D.故选C.知识点二 直线与平面所成的角3.线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30 B45 C60 D120答案C解析如图所示，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角4若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行 B相交C异面
3、D以上皆有可能答案D解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D和E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A30 B45 C60 D90答案A解析取AC的中点F，连接BF，DF.因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC1和BB1的中点，所以EDBF.过点F作FG垂直BC交BC于点G，由题意得FBG即为所求的角因为AB1，AC
4、2，BC，所以ABC90，BCA30，且BFCF，所以在FBG中FBG30.故选A.知识点三 直线与平面垂直的证明6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAPC，PBPD，ACBDO.求证：(1)PO平面ABCD；(2)AC平面PBD.证明(1)四边形ABCD为菱形，ACBDO，O为AC的中点，又PAPC，POAC.同理可证POBD.又AC平面ABCD，BD平面ABCD，ACBDO，PO平面ABCD.(2)由(1)知ACPO，又四边形ABCD为菱形，ACBD，又BD平面PBD，PO平面PBD，POBDO，AC平面PBD.7如图，在四面体ABCD中，BDC90，ACBD2，E，F分别
5、为AD，BC的中点，且EF.求证：BD平面ACD.证明取CD的中点为G，连接EG，FG.F，G分别为BC，CD的中点，FGBD.又E为AD的中点，ACBD2，则EGFG1.EF，EF2EG2FG2，EGFG，BDEG.BDC90，BDCD.又EG平面ACD，CD平面ACD，EGCDG，BD平面ACD.一、选择题1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nCmn，且n Dmn，且n答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，B符合题意；C，D中，m或m或
6、m与相交，不符合题意故选B.2直线a与平面所成的角为50，直线ba，则直线b与平面所成的角等于()A40 B50 C90 D150答案B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与所成的角也是50.3给出下列条件(其中l为直线，为平面)：l垂直于内的一五边形的两条边；l垂直于内三条不都平行的直线；l垂直于内无数条直线；l垂直于内正六边形的三条边其中能够推出l的条件的所有序号是()A B C D答案C解析如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直都有可能垂直的是平面内的平行直线，不能推出l.故选.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，则点A到平面A1DCB
7、1的距离是()A. B. C. D2答案B解析如图，连接AD1，交A1D于点O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，AD1CD.在正方形ADD1A1中，AD1A1D，CDA1DD，AD1平面A1DCB1，垂足为O，则AO的长即为所求，AO.故选B.5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析画出图形，如图所示，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，则DD1H为
8、DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cosDD1H.二、填空题6在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是_答案垂直解析由正方体性质知ACBD，BB1AC，E，F是棱AB，BC的中点，EFAC，EFBD，EFBB1，又BDBB1B，EF平面BB1O.7在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_答案30解析如图，PA平面ABCD，PCA即PC与平面ABCD所成的角，又tanPCA，PCA30.8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等若点
9、A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于_答案解析如图，设A1在底面ABC内的射影为O，O为ABC的中心，OAOBOC，则AA1A1BA1C.连接AB1，A1B，设AB1A1BE，则E为A1B的中点取OB的中点D，连接ED，AD，则EDA1O.由题意知A1O平面ABC，所以ED平面ABC.则EAD即为AB1与底面ABC所成的角设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为a，则OAOBa.在RtAA1O中，A1Oa，EDA1Oa.在正三角形AA1B中，AEa，在RtADE中，sinEAD，即AB1与底面ABC所成的角的正弦值为.三、解答题9如图，在三棱锥PABC中，
10、H为ABC的垂心，且PH平面ABC，求证：ABPC，BCAP.证明连接AH，H为ABC的垂心，AHBC，又PH平面ABC，PHBC，又PHAHH，BC平面PAH，又AP平面PAH，BCAP，同理可证ABPC.10如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明：P，Q分别为AE，AB的中点，PQEB.又DCEB，因此PQDC，因为PQ平面ACD，CD平面ACD，从而PQ平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP.Q为AB的中点，且ACBC，CQAB.DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC.CQ平面ABC，CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，又PQEBDC，四边形CQPD为平行四边形DPCQ.DP平面ABE.DAP即为AD和平面ABE所成的角在RtDPA中，AD，DPCQ1，sinDAP.AD和平面ABE所成角的正弦值为.- 8 -
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