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课时作业35 直线与平面垂直的判定
知识点一 直线与平面垂直的判定
1.下列说法中正确的个数是( )
①点到平面的距离是指这个点到这个平面的垂线段；
②过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；
③若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
④若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
⑤若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由点到平面的距离的概念及直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④，故选B.
2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
答案 C
解析 由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.
知识点二 直线与平面所成的角
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 C
解析 如图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．
4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
答案 D
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D和E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 取AC的中点F，连接BF，DF.因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AC1和BB1的中点，所以ED∥BF.过点F作FG垂直BC交BC于点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB＝1，AC＝2，BC＝，所以∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，且BF＝CF，所以在△FBG中∠FBG＝30°.故选A.
知识点三 直线与平面垂直的证明
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为菱形，PA＝PC，
PB＝PD，AC∩BD＝O.
求证：(1)PO⊥平面ABCD；
(2)AC⊥平面PBD.
证明 (1)∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD＝O，
∴O为AC的中点，又PA＝PC，
∴PO⊥AC.同理可证PO⊥BD.
又AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
(2)由(1)知AC⊥PO，
又四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，
PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD.
7．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.
证明 取CD的中点为G，连接EG，FG.
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.
又E为AD的中点，AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，EG∩CD＝G，
∴BD⊥平面ACD.
一、选择题
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( )
A．40° B．50° C．90° D．150°
答案 B
解析 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是( )
A．② B．①③ C．②④ D．③
答案 C
解析 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选②④.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点A到平面A1DCB1的距离是( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 如图，连接AD1，交A1D于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，
∵AD1⊂平面ADD1A1，∴AD1⊥CD.
在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，
∵CD∩A1D＝D，
∴AD1⊥平面A1DCB1，垂足为O，
则AO的长即为所求，AO＝＝.故选B.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 画出图形，如图所示，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝＝.
二、填空题
6．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．
答案 垂直
解析 由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
答案 30°
解析 如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA即PC与平面ABCD所成的角，
又tan∠PCA＝＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等．若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于________．
答案
解析 如图，设A1在底面ABC内的射影为O，O为△ABC的中心，OA＝OB＝OC，则AA1＝A1B＝A1C.连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝E，则E为A1B的中点．
取OB的中点D，连接ED，AD，则ED∥A1O.由题意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC.
则∠EAD即为AB1与底面ABC所成的角．
设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为a，则OA＝OB＝a.
在Rt△AA1O中，
A1O＝＝a，ED＝A1O＝a.
在正三角形AA1B中，AE＝a，在Rt△ADE中，
sin∠EAD＝＝＝，
即AB1与底面ABC所成的角的正弦值为.
三、解答题
9．如图，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC，求证：AB⊥PC，BC⊥AP.
证明 连接AH，∵H为△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，又PH⊥平面ABC，
∴PH⊥BC，又PH∩AH＝H，
∴BC⊥平面PAH，又AP⊂平面PAH，∴BC⊥AP，
同理可证AB⊥PC.
10．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
解 (1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，
∴PQ∥EB.
又DC∥EB，因此PQ∥DC，因为PQ⊄平面ACD，
CD⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP.
∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴CQ⊥AB.
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC.
∵CQ⊂平面ABC，
∴CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
∴四边形CQPD为平行四边形．
∴DP∥CQ.
∴DP⊥平面ABE.
∴∠DAP即为AD和平面ABE所成的角．
在Rt△DPA中，
AD＝，DP＝CQ＝1，sin∠DAP＝.
∴AD和平面ABE所成角的正弦值为.
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