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课时作业4 向量的数乘运算
知识点一 向量数乘运算的概念及运算律
1.已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|·a
C．|λa|＝|λ|·|a| D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
答案 b－a
解析 ∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
∴a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－a，
∴c＝b－a.
3．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解 (1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b.
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－a.
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.
知识点二 向量的线性运算
4.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由＝2，得－＝2(－)⇒＝＋，所以λ＝.
5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么O等于( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1＋e2
答案 A
解析 如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
6．已知点C在线段AB上，且＝，则＝____.
答案
解析 如图，因为＝，且点C在线段AB上，
则与同向，且||＝||，故＝.
7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
知识点三 共线问题
8.设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解 d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
由得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
9．已知：＝3，＝3，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE.
证明 ∵＝3，＝3，
∴＝－＝3－3＝3(－)＝3.
∴与共线．
又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
10．在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
答案 a＋b或a＋b
正解 因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，
如图2，
所以＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
一、选择题
1．给出下面四个结论：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb(m∈R)，则a＝b；
④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.
2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
答案 A
解析 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
3．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.
又a与b反向，∴λ＝－.
4．已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 因为＝λ＋⇔－＝λ⇔＝λ，所以点P在AC边所在的直线上，故选B.
5．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 B
解析 为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同，而＝＋λ，
∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
二、填空题
6．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又k>0，所以λ>0，故λ＝1.
7．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
答案 －
解析 由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，得＝＋＝5e1－3e2，又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以所以λ＝－.
8．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
答案 －e1＋e2
解析 ∵＝＝e2，∴＝－e2.
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝＝(e2－e1)，
∴＝＋＝(e2－e1)－e2
＝－e1＋e2.
三、解答题
9．(1)化简下列各式：
①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
②[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]；
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
解 (1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
②原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
(2)把已知中的两个等式看作关于m，n的方程，联立得方程组解得
10．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，求△AOB与△AOC的面积之比．
解 如图，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，
所以O，O共线，||＝||.
设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝||·h，
S△AOC＝2S△AOE＝||·h.
所以＝＝＝×＝.
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