2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十七复数的加减运算及其几何意义新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十七　
复数的加、减运算及其几何意义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若z-3+5i=8-2i，则z等于 (　　)
A.8-7i B.5-3i C.11-7i D.8+7i
【解析】选C.z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.
【加练·固】
　　 实数x，y满足z1=y+xi，z2=yi-x，且z1-z2=2，则xy的值是 (　　)
A.1　　　B.2　　　C.-2　　　D.-1
【解析】选A.z1-z2=y+xi-(yi-x)
=x+y+(x-y)i=2，
所以所以x=y=1.所以xy=1.
2.(2019·南通高二检测)设z1=2+bi，z2=a+i，a，b∈R，当z1+z2=0时，复数a+bi为 (　　)
A.1+i B.2+i
C.3 D.-2-i
【解析】选D.因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)
=(2+a)+(b+1)i，且z1+z2=0，
所以解得
所以a+bi=-2-i.
3.(2019·怀化高二检测)设z1=3-4i，z2=-2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i，在复平面内z1-z2对应点的坐标为(5，-7)，位于第四象限.
4.(2019·鄂州高二检测)复数z=x+yi(x，y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为 (　　)
A.2 B.4 C.4 D.16
【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|，
所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2，即x+2y=3，
所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4，当且仅当x=2y=时，2x+4y取得最小值4.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若复数z满足z=|z|-3-4i，则z=________　. 
【解析】设复数z=a+bi(a，b∈R)，
则a=-3且b=-4，
解得a=，b=-4，所以z=-4i.
答案：-4i
6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，y∈R)，z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x，y∈R).设z=z1-z2，且z=13-2i，则z1=________　，z2=________　. 
【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]
-[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i，
所以解得
所以z1=5-9i，z2=-8-7i.
答案：5-9i　-8-7i
三、解答题(共26分)
7.(12分)计算：(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)
=-4+4i.
8.(14分)复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求点C对应的复数.
【解析】因为对应的复数为1+2i，对应的复数为3-i.
所以=-对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又因为=+，
所以C点对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
(15分钟·30分)
1.(4分)ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|，则z对应的点是△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】选A.设复数z与复平面内的点Z相对应，
由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心.
2.(4分)(2019·重庆高二检测)如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2，那么实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2，2) B.(-2，2)
C.(-1，1) D.(-，)
【解析】选D.|z-2|<2即|1+ai|<2，所以<2，所以-<a<.
【加练·固】
　　 若z=x+yi(x，y∈R)，定义|z|=.当z1=-5+12i，z2=-6-6i时，则|z1|与|z2|的大小关系是 (　　)
A.|z1|=|z2|
B.|z1|<|z2|
C.|z1|>|z2|
D.|z1|与|z2|不能比较大小
【解析】选C.因为z1=-5+12i，
z2=-6-6i，
所以|z1|==13，
|z2|==12，
所以|z1|>|z2|.
3.(4分)已知复数z1=2+3i，z2=a-2+i，若|z1-z2|<|z1|，则实数a的取值范围是________.  
【解析】由条件知z1-z2=(4-a)+2i.
又因为|z1-z2|<|z1|，
即<，解得1<a<7.
答案：1<a<7
4.(4分)已知复数z1=-2mi，z2=-m+m2i，若z1+z2>0，则实数m=______________.  
【解析】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.
因为z1+z2>0，所以z1+z2为实数且大于0，
所以解得m=2.
答案：2
5.(14分)设复数z满足|z-3+4i|=|z+3-4i|，判断复数z在复平面上对应点的轨迹.
【解析】设z=x+yi，x，y∈R，
由|z-3+4i|=|z+3-4i|
得
=，化简可得3x-4y=0，
所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线.

1.(2019·渭南高二检测)已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i是虚数单位，则|z+2-2i|的最小值是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解题指南】考虑|z-2-2i|=1的几何意义，表示以(2，2)为圆心，以1为半径的圆，|z+2-2i|的最小值，就是圆上的点到(-2，2)距离的最小值，转化为圆心到(-2，2)距离与半径的差.
【解析】选B.|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2，2)的距离等于1的点的轨迹，即以点A(2，2)为圆心，以1为半径的圆C，|z+2-2i|的最小值，即圆C上的点到B(-2，2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.
【变式探究】
　　 把本题条件中|z-2-2i|与结论中|z+2-2i|互换，即已知z∈C，且|z+2-2i|=1，求|z-2-2i|的最小值.结果如何？
【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，
则|(x+yi)+2-2i|=1，
即|(x+2)+(y-2)i|=1，
所以=1，
所以(x+2)2+(y-2)2=1，即复数z对应的复平面上的点Z在以(-2，2)为圆心，以1为半径的圆上，所以-3≤x≤-1.
而|z-2-2i|=
==，
因为-3≤x≤-1，
所以当x=-1时，|z-2-2i|取最小值3.
【一题多解】(几何法)|z+2-2i|
=|z-(-2+2i)|=1，

所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2，2)为圆心，以1为半径的圆.
　|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2，2)的距离，即圆上的点到点(2，2)的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易求得|z-2-2i|的最小值为3.
2.在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i.
(1)求向量，，对应的复数.
(2)判断△ABC的形状.
(3)求△ABC的面积.
【解析】(1)对应的复数为2+i-1=1+i，
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i，
对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.
(2)因为||=，||=，||=
=2，所以||2+||2=||2，
所以△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=××2=2.

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