2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价四向量的数乘运算新人教A版必修2.doc

课时素养评价 四　
向量的数乘运算

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)向量a=2e，b=-6e，则下列说法正确的是 (　　)
A.a∥b
B.向量a，b方向相反
C.=3|b|
D.b=-3a
【解析】选A，B，D.
因为b=-6e=-3=-3a，
所以a∥b，a，b方向相反，且3=|b|.
2.(2019·青岛高一检测)在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且=4=
r-s，则s+r= (　　)
A.0　　 　B.　　　C.　　　D.3
【解析】选C.由题意得，=4，
所以=.
因为=-，所以==-.所以r=s=，所以s+r=.
3.已知向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是
(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2，所以，A，B，D三点一定共线.
4.(2019·临沂高一检测)点P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则点P一定在 (　　)
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
【解析】选B.因为=λ+，
所以-=λ.
所以=λ.所以P，A，C三点共线.
所以点P一定在AC边所在的直线上.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近C的三等分点，则=________(用向量，表示). 

【解析】=+=+
=-.
答案：-
6.已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，能使a，b共线的是________.(填序号) 
①2a-3b=4e，且a+2b=-3e；②存在相异实数λ，μ，使λa+μb=0；
③xa+yb=0(实数x，y满足x+y=0)；④已知在梯形ABCD中，=a，=b.
【解析】由①得，10a-b=0，故满足条件；②显然满足条件；对于③，当x+y=0时，a，b不一定共线；④中，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线.
答案：①②
三、解答题(共26分)
7.(12分)设两个不共线的向量e1，e2，若向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d=λa+μb与向量c共线？
【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d=k·c，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2
=2ke1-9ke2.
由
得λ=-2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
8.(14分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足=e+2f，=-4e-f，=
-5e-3f.
(1)用e，f表示.
(2)证明四边形ABCD为梯形.
【解析】(1)由题意，有=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.
(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2，即=2.
根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足++=，则点P与△ABC的关系为 (　　)
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上
D.P是AC边的三等分点
【解析】选D.因为=-，
所以++=-，
即2+=0，
即=2，
故=，所以P是AC边的一个三等分点.
2.(4分)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ，λ∈(0，+∞)，则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】选C.设BC的中点为M，则=，则有=+λ，即=λ，所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
3.(4分)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=_______ ，=________.  
【解析】因为-3+2=0，
所以-=2(-)，
所以=2，所以=2.
答案：2　2
4.(4分)过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设=h·，=k·，则+=________.  
【解析】连接OG并延长OG交边AB于点M，
则点M为AB边的中点，
所以===+，又=，所以=+.因为P，Q，G三点共线，且，是不共线的向量，所以+=1，即+=3.
答案：3
5.(14分)如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M，N，C三点共线.

【证明】=-，
因为=，==(+)，
所以=+-
=-①，
=-=-②，
由①、②可知=3，即∥，
又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线.

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