2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五向量的数量积新人教A版必修2.doc

课时素养评价 五
向量的数量积

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)以下命题不正确的是 (　　)
A.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
B.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0
C.a与b是两个单位向量，则a2=b2
D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
【解析】选A，B，D.上述命题中只有C正确，
因为|a|=|b|=1，
所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.
当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然A，B错误.根据两个向量夹角的概念，，的夹角应为120°.
2.(2019·邯郸高一检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则·=
(　　)
A.-16　　　B.-8　　　C.8　　　D.16
【解析】选D.设∠CAB=θ，所以AB=，·=||||cos θ=×
4cos θ=16.
【加练·固】
　　 在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则·(+)等于 (　　)
A.-　 　B.-　 　C.　　 D.
【解析】选A.由题意，结合图形有·(+)=·2=·=-
=-=-.
3.(2019·宣城高一检测)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.|a-b|=

设向量a与a-b的夹角为θ，
则cos θ=
又因为θ∈[0，π]，
所以θ=.
4.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为 (　　)
A.-6 B.6 C.3 D.-3
【解析】选B.因为c·d=0，
所以(2a+3b)·(ka-4b)=0，
所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，
所以2k=12，所以k=6.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c=2a-b，则cos􀎮a，c􀎯=________. 
【解析】因为c2=(2a-b)2
=4a2+5b2-4a·b=9，
所以|c|=3，
因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2，
所以cos􀎮a，c􀎯===.
答案：
6.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为，则向量m=a-4b的模为________. 
【解析】|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12，所以|m|=2.
答案：2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)·(a+b)=，且a·b=.
(1)求向量a，b的夹角.
(2)求|a-b|.
【解析】(1)设a与b的夹角为θ，
因为(a-b)·(a+b)=，
所以a2-b2=，
即|a|2-|b|2=.
又|a|=1，所以|b|=.
因为a·b=，所以|a|·|b|cos θ=，
所以cos θ=，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=，
所以|a-b|=.
8.(14分)已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ.
(2)求(a-2b)·b.
(3)当λ为何值时向量λa+b与向量a-3b互相垂直？
【解析】(1)因为|a|=2|b|=2，
所以|a|=2，|b|=1.
又因为a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1，
所以a·b=|a||b|cos θ=-1.
所以cos θ=-，所以θ=.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直，
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，
所以λ=.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·=·=·，则点O是△ABC的 (　　)
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
【解析】选B.因为·=·，
所以·(-)=0，
即·=0，所以⊥，
同理⊥，⊥，
所以O是△ABC的垂心.
2.(4分)在△ABC中，∠C=90°，|AB|=6，点P满足|CP|=2，则·的最大值为 (　　)

A.9 B.16 C.18 D.25
【解析】选B.取AB的中点D，连接CD.
设与的夹角为α，则：
·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+
)=22+·2=4+2·=4+2||·||cos α=4+2×2×3cos α=4+
12cos α，
所以当α=0°时，·的最大值为16.
3.(4分)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·(2a-3b)=12，则|b|=________；b在a方向上的投影等于________.  
【解析】·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=12，即3|b|2-|b|-4=0，解得|b|=(舍负值)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°=×=1.
答案：　1
4.(4分)已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB=4，AC=2，则·=_______.  
【解析】因为M是BC的中点，所以=(+)，又因为O是△ABC的外接圆圆心，
所以·=||||cos∠BAO
=||2=8，
同理得·=||2=2，
所以·=(+)·
=·+·=4+1=5.
答案：5
5.(14分)设两个向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【解析】当夹角为π时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ<0，
则所以
由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角，
得cosθ=<0，
所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，
化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.
所以所求实数t的取值范围是
∪.
【加练·固】
　　 已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为60°，若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3，又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2，
而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角，
所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0，
又|a|2=4，|b|2=9，a·b=3，
所以3λ2+13λ+3>0，
解得λ>或λ<.
但是当λ=1时，向量a+λb与λa+b共线，
　其夹角不是锐角，故λ的取值范围是
∪∪(1，+∞).

1.在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，满足|-t|≤||的实数t的取值范围是_______.  
【解析】设与的夹角为θ，则θ=30°.
在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，即AC=1.
因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，∠B=30°.
所以由|-t|≤||得-2t·cos θ+t2≤3，
所以3-2t·2·+4t2≤3，
整理，得2t2-3t≤0，解得0≤t≤.
所以实数t的取值范围是.
答案：
2.如图，在直角△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，·最大？并求出这个最大值.

【解析】设与的夹角为θ，
则·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·
=-a2-·(-)
=-a2+·=-a2+a2cosθ.

故当cos θ=1，即θ=0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

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