2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十一余弦定理新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十一
余 弦 定 理

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2019·嘉兴高一检测)在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cos B=，则AC= (　　)
A.6　　　B.2　　　C.3　　　D.4
【解析】选A.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=42+62-2×4×6×=36，所以AC=6.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，c=2，cos A=，则b= (　　)
A. B.
C.2 D.3
【解析】选D.由余弦定理，得5=b2+22-2×b×2×，解得b=3.
3.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2+b2，则△ABC为 (　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
【解析】选B.因为c2<a2+b2，所以∠C为锐角.
因为a<b<c，所以∠C为最大角，所以△ABC为锐角三角形.
【加练·固】
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
【解析】选C.由题意知<0，即cos C<0，所以△ABC为钝角三角形.
4.若a，b，c为△ABC的三边，B=120°，则a2+c2+ac-b2的值 (　　)
A.大于0　 B.小于0
C.等于0 D.不确定
【解析】选C.由题意知，cos B=
=cos 120°=-，所以a2+c2-b2=-ac，
所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60°，则c=________. 
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，
所以7=4+c2-2c，解得c=3(负值舍去)
答案：3
6.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B=2a+b，则∠C=________. 
【解析】因为2ccos B=2a+b，
所以由余弦定理得2c×=2a+b，
整理得a2+b2-c2=-ab，
所以cos C==-，
又因为0°<C<180°，所以C=120°.
答案：120°
三、解答题(共26分)
7.(12分)在△ABC中，A+C=2B，a+c=8，ac=15，求b.
【解析】在△ABC中，
因为A+C=2B，A+B+C=180°，
所以B=60°.由余弦定理，
得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-2×15-2×15×=19.
所以b=.
8.(14分)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2-2x+2=0的两根，2cos(A+B)=1，
(1)求角C的度数.
(2)求AB的长.
【解析】(1)因为cos C=cos[π-(A+B)]
=-cos(A+B)
=-，且C∈(0，π)，所以C=.
(2)因为a，b是方程x2-2x+2=0的两根，
所以
所以AB2=b2+a2-2abcos 120°
=(a+b)2-ab=10，
所以AB=.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=
(　　)
A.4 B.
C. D.2
【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-，在△ABC中，由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C，
所以AB2=1+25-2×1×5×=32，
所以AB=4.
2.(4分)△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，若p∥q，则C的大小为 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为p=(a+c，b)，
q=(b-a，c-a)，p∥q，
所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理，得cos C===，
因为0<C<π，所以C=.
3.(4分)三角形一边长为14，它的对角为，另外两边之比为8∶5，则此三角形的面积为________.  
【解析】设此三角形未知的两边之长为8k，5k(k>0)，结合已知条件，由余弦定理得
142=(8k)2+(5k)2-2×8k×5kcos ，
解得k=2，
所以该三角形三边长分别为14，16，10，
长度为16的边上的高为10×sin，
所以此三角形的面积为×16×10×sin=40.
答案：40
4.(4分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为________.  
【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.
答案：60°或120°
5.(14分)(2019·北京高考)在△ABC中，a=3，b-c=2，cos B=-.
(1)求b，c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【解析】(1)由已知及余弦定理，
cos B==
==-，
即9-2b+c=0，
又b-c=2，
所以b=7，c=5.
(2)由(1)及余弦定理，
cos C===，
又sin2C+cos2C=1，0<C<π，
所以sin C=，同理sin B=，
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.

1.若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是
(　　)
A.(1，)　　　　　 B.(，5)
C.(，) D.(1，)∪(，5)
【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.
(2)若x<3，则3对角的余弦值<0
且x+2>3，解得1<x<.
故x的取值范围是(1，)∪(，5).
【加练·固】
如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 (　　)
A.锐角三角形　　　 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
【解析】选A.设直角三角形三边为a，b，c，且a2+b2=c2.
则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2
=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2
=2(a+b-c)x+x2>0.
设最大边(c+x)所对的角为θ，则
cos θ=>0，
所以θ为锐角，故三角形的形状为锐角三角形.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，
sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小.
(2)求△ABC的周长.
【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，
得a2-b2-c2=-bc
所以cos A==.
又0<A<π，所以A=.
由sin Asin B=cos2，得sin B=，
即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.
所以B为锐角，且B+C=，
则sin=1+cos C，
化简得cos=-1，
解得C=，所以B=.
(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2.
在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C
=22+22-2×2×2×cos =12，
所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.

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