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课时素养评价
八 充分条件、必要条件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”⇒“a+b是偶数”，“a+b是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的充分条件.
2.已知p：>0，q：xy>0，则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.若>0，则x与y同号，所以xy>0，所以p⇒q；
若xy>0，则x与y同号，所以>0，所以q⇒p；
所以p是q的充分条件也是必要条件.
3.a<b，b<0的一个必要条件是 ( )
A.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
【解析】选A.因为a<b，b<0⇒a<0，b<0⇒a+b<0.所以a+b<0是a<b，b<0的一个必要条件.
4.(多选题)有以下说法，其中正确的为 ( )
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
【解析】选ACD.A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；
B不正确.因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确.由于“x=3”⇒“x2-2x-3=0”，故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件；D正确.由于“x>3”⇒“x2>4”，所以“x>3”是“x2>4”的充分条件.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的________ 条件.
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________ 条件.
【解析】(1)当|x|≠3时，x≠±3，
所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3”⇒“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”“这个自然数能被5整除”“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.
答案：(1)必要 (2)充分
6.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)
【解析】当A∩B={4}时，m2=4，所以m=±2.
所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.
答案：充分
三、解答题
7.(16分)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件：
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除.
(2)p：x>1，q：x2>1.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形.
(4)p：A∩B=A，q：UB⊆UA.
【解析】(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p⇒q，qp，
所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件.
(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1，所以p⇒q，且qp.
所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件.
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q⇒p，
所以p不是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(4)画出Venn图(如图)可得.
结合图形可知，A∩B=A⇒A⊆B⇒UB⊆UA，
反之也成立.所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 ( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，
所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(4分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【解析】选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图.
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
3.(4分)给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a=3，b=-2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a+b>0的充分条件.(填序号)
【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；对应即为“谁”⇒a+b>0.
①a>0，b>0⇒a+b>0；②a<0，b<0a+b>0；
③a=3，b=-2⇒a+b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|⇒a+b>0.
答案：①③④
4.(4分)条件p：1-x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为________.
【解析】x>1⇒x>a，令A=(1，+∞)，
B=(a，+∞)，则A⊆B，所以a≤1.
答案：
5.(14分)已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否是必要条件？证明你的结论.
【解析】若a2-b2=1，
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2
=a2+b2-2b2=a2-b2=1，
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，
证明如下：若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-(b2+1)2=0，
所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0，
因为a2+b2+1≠0，所以a2-b2=1，
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
【加练·固】
已知a，b是实数，且ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件是a+b=1，该条件是否是必要条件？证明你的结论.
【证明】若a+b=1，即b=1-a，
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.所以a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件，
a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的必要条件，
证明如下：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，
所以a2-ab+b2≠0，故a+b=1.
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