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第2课时 全集、补集及综合应用
[A 基础达标]
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2，6} B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
解析：选A.由题知A∪B＝{1，3，4，5}，
所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
解析：选D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝( )
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
解析：选B.由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．
4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．∅
解析：选A.因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．故选A.
5.(2019·沈阳检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}
解析：选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为________．
解析：由题意得，A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3，5}，故有2个元素．
答案：2
7．设全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，
所以m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________．
解析：因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.
答案：2
9．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|1≤x<6}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB)．
解：∁R(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥6}，
∁R(A∩B)＝{x|x<1或x>3}，
(∁RA)∩B＝{x|3<x<6}，
A∪(∁RB)＝{x|x≤3或x≥6}．
10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁RA)∩B＝{2}，A∩(∁RB)＝{4}，求实数a，b的值．
解：由条件(∁RA)∩B＝{2}和A∩(∁RB)＝{4}，知2∈B，但2∉A；4∈A，但4∉B.将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得即
解得a＝，b＝－即为所求．
[B 能力提升]
11．已知集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁RM≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________．
解析：由题意知∁RM＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．
因为N∩∁RM≠∅，所以a≥－2.
答案：a≥－2
12．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1<x<4}．
(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝∅，即m≥1＋3m时，
得m≤－，满足B⊆∁RA；
当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，
则或
解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.
13．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的值．
解：由已知，得A＝{－2，－1}，
由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，所以B≠∅.
所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，所以B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验，知m＝1，m＝2均符合题意．
所以m＝1或2.
[C 拓展探究]
14．已知全集U＝{不大于20的质数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3，5}，(∁UM)∩N＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，则M＝________，N＝________．
解析：法一：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图所示，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．
法二：因为M∩(∁UN)＝{3，5}，
所以3∈M，5∈M且3∉N，5∉N.
又因为(∁UM)∩N＝{7，19}，
所以7∈N，19∈N且7∉M，19∉M.
又因为(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，
所以∁U(M∪N)＝{2，17}，
所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．
答案：{3，5，11，13} {7，11，13，19}
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