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第1课时 集合的概念
[A 基础达标]
1．现有以下说法，其中正确的是( )
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．
2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.
3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为( )
A．－5 B．－4
C．4 D．5
解析：选A.因为2∈A，
所以2×22＋2a＋2＝0，
解得a＝－5.
4．设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a∉M
C．a＝M D．a≠M
解析：选B.因为集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
解析：选A.＝|x|，－＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
6．下列说法：
①集合N与集合N*是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．
解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)
解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
答案：∉ ∈
8．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
解析：当a>0且b>0时，＋＝2；
当a·b<0时，＋＝0；
当a<0且b<0时，
＋＝－2.
所以集合中的元素为2，0，－2.
即元素的个数为3.
答案：3
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.
10．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．
解：因为a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，所以a∈A；
因为b＝＝＝＋，而，∉Z，所以b∉A；因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z，所以c∈A.
[B 能力提升]
11．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于或等于1
解析：选C.由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1，所以A＝{0，1}．又因为t∈A，所以t＝0或t＝1，故选C.
12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
解析：选C.集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C.
13．(2019·信阳检测)已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2<x<a，则满足条件的x的值为3，4，5，所以a的值是6.
答案：6
14．设集合A中的元素是实数，且满足1∉A，且若a∈A，则∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解：因为2∈A，所以＝－1∈A，
所以＝∈A，
所以＝2，
再求下去仍然只得到2，－1，这三个数，
所以集合A中的元素只有三个：－1，，2.
[C 拓展探究]
15．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．
②数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．
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