资源描述
1.1.2 集合的基本关系
[A 基础达标]
1．(2019·衡水检测)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B⊆A，则X可以取的值为( )
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6 D．1，2，6
解析：选D.由B⊆A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6.
2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选B.根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；
③∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确．共有3个正确．
3．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
解析：选C.方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．
4．已知集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N
B．MN
C．MN
D．M与N没有相同元素
解析：选C.因为＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN.故选C.
5．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0，1或－1
解析：选D.由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.
6．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
7．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a≤.
答案：a≤
8．设区间A＝(－1，3]，B＝(a，＋∞)，若AB，则a的取值范围是________．
解析：区间A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．
答案：a≤－1
9．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.
(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝，
利用数轴判断A，B的关系．
如图所示，AB.
(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
10．(2019·葫芦岛检测)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}．
(1)若A＝B，求y的值；
(2)若A⊆C，求a的取值范围．
解：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2<x<5}，
所以所以3<a<5.
[B 能力提升]
11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( )
A．A⊆B B．AB
C．BA D．A∈B
解析：选D.因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.
12．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围．
解：集合A在数轴上表示如图，
要使A⊇B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，
即x<－知，－≤－2，
即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8.
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B⊆A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，
可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.
综上可知，当m≤3时，B⊆A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
(3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有或解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．
[C 拓展探究]
14．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
解析：由题意知C⊆{0，2，4，6，7}，C⊆{3，4，5，7，10}，
所以C⊆{4，7}．又因为C≠∅，
所以C＝{4}，{7}或{4，7}．
答案：{4}，{7}或{4，7}
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