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第2课时 全集与补集
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
答案 A
解析 因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}，因为U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁U(A∪B)＝{2,6}．故选A.
2．图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(B) B．B∩(A)
C.(A∩B) D.(A∪B)
答案 B
解析 由维恩图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩(∁UA)．故选B.
3．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则( )
A.N⊆M B．M⊆N
C.M⊆N D.N⊆M
答案 C
解析 根据M，N⊆U，M∩N＝N，画出维恩图，如图所示，由图可知∁UM⊆∁UN.故选C.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴(A∪B)＝{3,5}．故选B.
5．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(B)＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．∅
答案 A
解析 ∵(A∪B)＝{4}，U＝{1,2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴A＝{1,3}或A＝{2,3}或A＝{1,2,3}或A＝{3}，∴∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}，故选A.
二、填空题
6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案 12
解析 设两项运动都喜爱的人数为x，画出维恩图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
7．设全集U＝{2,4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若A＝{－1}，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由已知可得解得a＝2.
8．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩(∁RM)≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 由题意，得M＝{x|－2≤x<3}，借助数轴
可得a≥－2.
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(A)∪B，A∩(B)，(A∪B)．
解 把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，
由图可得A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
B＝{x|x<－3或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．
故(A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(B)＝{x|2<x<3}．
(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}．
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．
解 若B＝∅，则a＋1>2a－1，则a<2，
此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB，满足条件；
若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时∁UB＝{x|x<a＋1或x>2a－1}，
由于A⊆∁UB，
∴或
解得a>4，
综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}．
B级：“四能”提升训练
1．若三个关于x的方程x2－2ax－3＋a2＝0，x2－(a＋2)x＋a2＝0，x2＋x－3a＝0中至多有两个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设已知三个方程都有实根，此时a的取值范围为集合D.
则
⇒⇒a≥－.
∴D＝.
∴使三个方程中至多有两个方程有实根的a的取值范围是D的补集，即.
2．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．
解 A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，
∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1或m＝2符合条件．
综上可得m＝1或m＝2.
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