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第四课
考点突破·素养提升
素养一 数据分析
角度1 随机抽样
【典例1】对于下列抽样方法:
①运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道;②从20个零件中一次性拿出3个来检验质量;③某班50名学生,指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛; ④为了保证食品安全,从某厂提供的一批月饼中,拿出一个检查后放回,再拿一个检查,反复5次,拿了5个月饼进行检查.其中,属于简单随机抽样的是________.(把正确的序号都填上)
【解析】对于②,一次性拿出3个来检验质量,等价于“逐个”抽取3次;对于③,指定其中成绩优异的2名学生,不满足等可能抽样的要求;对于④,是有放回简单随机抽样.
答案:①②④
【类题·通】
与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比.可依据各层总数与样本数之比,确定抽样比.
(2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比,再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数.
(3)求各层的样本数.可依据题意,求出各层的抽样比,再求出各层样本数.
提醒:分层随机抽样时,在各层所抽取的样本个数与该层个体数的比值等于抽样比;系统抽样抽取的号码按从小到大排列后,每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔.
【加练·固】
1.下面的抽样方法是不放回简单随机抽样的个数是 ( )
①某班45名同学,学校指定个子最高的5名同学参加学校的一项活动;②从20个被生产线连续生产的产品中一次性抽取3个进行质量检验;③一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件玩,玩完放回再拿出一件,连续玩了5次.
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选A.①不是,因为这不是等可能的.②是,“一次性”抽取3个,等价于逐个抽取3次.③不是,是有放回简单随机抽样.
2.一工厂生产了某种产品16 800件,它们来自甲、乙、丙三条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽样,已知甲、丙两条生产线抽取的个体数的和为乙生产线抽取的个体数的两倍,则乙生产线生产了________件产品.
【解析】甲、乙、丙抽取的个体数为x,y,z,由题意x+z=2y,即乙占总体的,故乙生产线生产了16 800×=5 600.
答案:5 600
角度2 估计总体的集中趋势
【典例2】随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若该校的学生总人数为3 000,则成绩不超过60分的学生人数大约为________.
【解析】由频率分布直方图知,成绩不超过60分的学生的频率为(0.005+0.01)×20=0.3,所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×
3 000=900.
答案:900
【类题·通】
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率之和等于1就可求出其他数据.
(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解.
【加练·固】
为了解某地区1 500名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方图如图.根据图示,估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]kg的学生人数是 ( )
A.390 B.510 C.600 D.660
【解析】选C.由已知,体重在[56.5,64.5]kg的学生频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,频数为1 500×0.4=600.
素养二 数学运算
角度 估计总体的离散程度
【典例3】已知数据x1,x2,…,x10的均值为2,标准差为s,又知数据3x1+2, 3x2+2,…,3x10+2的方差为27,则s=________.
【解析】因为数据x1,x2,…,x10的均值为2,标准差为s,数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为27,所以9s2=27,解得s=.
答案:
【类题·通】
样本的数字特征的关注点
(1)样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括平均数、众数、中位数;另一类是反映样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.
(2)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,稳定性越强.
【加练·固】
随机调查某校50个学生在学校的午餐费,结果如表:
餐费/元
6
7
8
人数
10
20
20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是 ( )
A.7.2,0.56 B.7.2,
C.7,0.6 D.7,
【解析】选A.根据题意,计算这50个学生午餐费的平均值是=×(6×10+7×20+8×20)=7.2,
方差是s2=[10×(6-7.2)2+20×(7-7.2)2+20×(8-7.2)2]=(14.4+0.8+12.8)=0.56.
素养三 数学建模
角度 统计的实际应用
【典例4】张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度,随机对15～65岁的人群抽样了n人,问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如图表.
组号
分组
回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
(1)分别求出a,b,x,y的值.
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人.
【解析】(1)由频率分布表中第4组数据可知,第4组总人数为=25,结合频率分布直方图可知
n==100,
所以a=100×0.01×10×0.5=5,
b=100×0.03×10×0.9=27,
x==0.9,
y==0.2.
(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人,所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数
为第2组:×6=2;第3组:×6=3;第4组:×6=1.
【类题·通】
理解题意,抽象出数学模型(即选择恰当统计图表,特征值等等),是解答统计与应用问题的突破口.只有找到合适的模型,才能迅速地抓住问题本质,进而运用相应的解题策略.
【加练·固】
为了普及环保知识,增强环保意识,某大学有300名员工参加环保知识测试,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50),得到的频率分布直方图如图所示.现在要从第1,3,4组中用分层随机抽样的方法抽取16人,则在第4组中抽取的人数为________.
【解析】由频率分布直方图得,第1,3,4组的频率之比为1∶4∶3,所以用分层随机抽样的方法抽取16人时,在第4组中应抽取的人数为16×=6.
答案:6
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