资源描述
4.3.2 对数的运算
[A 基础达标]
1．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：选C.原式＝log6－log62
＝log6＝log6.
2．若lg x－lg y＝t，则lg－lg＝( )
A．3t B.t
C．t D.
解析：选A.lg－lg＝3lg －3lg ＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t.
3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为( )
A. B．9
C．18 D．27
解析：选B.由题意得··＝log416＝log442＝2，所以＝2，
即lg m＝2lg 3＝lg 9.
所以m＝9，选B.
4．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
解析：选A.因为lg x＝lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，所以x＝.
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．log48
解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23.
又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3.故选A.
6．log48－log3＝________．
解析：log48＝log2223＝，
log3＝－，
所以原式＝－＝2.
答案：2
7．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________．
解析：lg(10m)＋lg＝lg 10＋lg m＋lg＝1，
所以10x＝1＝100，所以x＝0.
答案：0
8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝__________．
解析：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg.
解：(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z.
10．计算下列各式的值：
(1)log3(81)；(2)；
(3)log6－2log63＋log627.
解：(1)原式＝log381＋log3＝log334＋log33＝4＋＝.
(2)原式＝＝
＝＝2.
(3)法一：原式＝－log6(22×3)－2log63＋log633
＝－(log622＋log63)－2log63＋log63
＝－(2log62＋log63)－2log63＋log63
＝－2(log62＋log63)
＝－2log6(2×3)＝－2.
法二：原式＝log6－log632＋log627
＝log6＝log6＝log66－2＝－2.
[B 能力提升]
11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析：选D.因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则≈＝1093，故选D.
12．设a＝log2m，b＝log5m，且＋＝1，则m＝________．
解析：因为a＝log2m，b＝log5m，所以＝＝logm2，＝＝logm5，因为＋＝1，所以logm2＋logm5＝logm10＝1，所以m＝10.
答案：10
13．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514.
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝
÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
14．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，
设t＝lg x，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)
＝
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
[C 拓展探究]
15．已知2y·logy4－2y－1＝0，·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？
解：由2y·logy4－2y－1＝0得
2y＝0，所以logy4＝，即y＝16.
由·log5x＝－1得＝－，则＝－logx5>0.
(logx5＋1)＝(－logx5)2，整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，所以＝25.
所以P＝＝＝3，
即存在一个正数P＝3，使得P＝成立．
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