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第2课时 对数函数及其性质的应用（习题课）
[A 基础达标]
1．下列各式中错误的是( )
A．30.8>30.7
B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1
D．lg 1.6>lg 1.4
解析：选C.由指数函数的性质可知，函数y＝0.75x为单调递减函数，又因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.
2．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
3．关于函数f(x)＝log的单调性的说法正确的是( )
A．在R上是增函数
B．在R上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
解析：选D.由函数f(x)的解析式知定义域为，设t＝2x－(t>0)，t在上是增函数，y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，由复合函数的单调性可知f(x)在上是减函数，故选D.
4．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．3 D.
解析：选B.因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以0<a<1，所以x2＋2≥2.
又因为函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则a＝.
5．已知f(x)＝log3x，则f，f，f(2)的大小关系是 ( )
A．f>f>f(2)
B．f<f<f(2)
C．f>f(2)>f
D．f(2)>f>f
解析：选B.因为f(x)＝log3x，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又因为2>>，
所以f(2)>f>f.
6．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.
答案：(2，＋∞)
7．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为________．
解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．
答案：{x|＜x＜3}
8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．
解析：因为a＞1，
所以f(x)＝logax在[a，2a]上递增，
所以loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，所以a＝2，a＝4.
答案：4
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5与log3.10.2；
(2)log8与log4；
(3)log56与log65.
解：(1)因为y＝log3.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以log3.10.5>log3.10.2.
(2)法一：因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以log8<log4.
法二：log8＝－3，log4＝－2，
由－3<－2知log8<log4.
(3)因为log56>log55＝1，log65<log66＝1，所以log56>log65.
10．求函数y＝log(1－x2)的单调区间，并求函数的最小值．
解：要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
所以x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．
令t＝1－x2，x∈(－1，1)．
当x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，
所以当x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．
故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.
[B 能力提升]
11．已知logm<logn<0，则( )
A．n<m<1 B．m<n<1
C．1<m<n D．1<n<m
解析：选D.因为0<<1，logm<logn<0，所以m>n>1，故选D.
12．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则f(x) ( )
A．在(－∞，0)上是增函数
B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数
D．在(－∞，－1)上是减函数
解析：选C.当－1<x<0时，0<x＋1<1.
因为loga|x＋1|>0，所以0<a<1，
所以函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．
13．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解：(1)因为g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，所以g(x)＝log3x.
因为函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，所以f(x)＝logx.
(2)因为f(3x－1)>f(－x＋5)，所以log(3x－1)>log(－x＋5)，
则
解得<x<，
即x的取值范围为.
14．设a>0且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2.
所以lg(x2－2x＋3)的最小值为lg 2.
又因为y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0<a<1.
由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，
则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)，
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0，2]恒成立，且a>0，a≠1.设g(x)＝3－ax，
则g(x)在[0，2]上为减函数，
所以g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，
所以a<.
所以实数a的取值范围是(0，1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，所以a＝.
此时f(x)＝log.
但x＝2时，f(x)＝log0无意义．故这样的实数a不存在．
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