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课时素养评价 三十九
函数模型的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱[注:(1+0.8%)12=1.100 38] ( )
A.全部购买股票
B.全部存入银行
C.部分购股票,部分存银行
D.购股票或存银行均一样
【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)×10 000,存银行利润:y=17.25×
10 000×(1+0.8%)12-17.25×10 000,计算得x<y.
2.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,
t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一( )
A.8 B.16 C.24 D.32
【解析】选B.依题意有a·e-b×8=a,
所以b=,所以y=a·,
若容器中只有开始时的时,
则有a·=a,解得t=24.
所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
3.一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期.精确到0.1.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3
【解析】选B.设半衰期为x,则有500(1-10%)x=250,即=,取对数得
x(lg 9-1)=-lg 2,所以x=≈≈6.6.
4.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么一个喝了少量酒的驾驶员,至少经过________小时才能开车.(精确到1小时,参考数据:lg 3≈0.477,lg 4≈0.602) ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.设至少经过x小时才能开车,由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,所以0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.2.所以至少经过5小时才能开车.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,若植树的棵数每年的增长率均为a,则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________,若计划3年后全年植树12.5万棵,则a=________.
【解析】经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x,由题意可知6.4(1+a)3=12.5,
所以(1+a)3=,所以1+a=,故a==25%.
答案:y=6.4(1+a)x 25%
6.某个病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=________,经过5 h,1个病毒能繁殖为________个.
【解析】当t=0.5时,y=2,所以2=.
所以k=2ln 2.所以y=e2tln 2,
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
答案:2ln 2 1 024
三、解答题(共26分)
7.(12分)家用冰箱制冷使用的氟化物,释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?(提示:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)
【解析】(1)因为Q0>0,-<0,e>1,
所以Q=Q0为减函数,
所以随时间的增加,臭氧的含量减少.
(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失,
则Q=Q0=Q0,即=,
取对数可得-=ln,
解得x=400ln 2≈277.2.
所以278年以后将会有一半的臭氧消失.
8.(14分)我国加入WTO时,根据达成的协议,某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=(其中t为关税的税率,且t∈,x为市场价格,b,k为正常数).当t=时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图象求b,k的值.
(2)当关税的税率t=时,求市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为多少?
【解析】(1)由题干图可知解得k=6,b=5.
(2)由(1)可得P(x)=,
设m=(1-6t)(x-5)2,当t=时,m=(x-5)2,因为市场供应量P不低于1 024,
所以2m≥1 024,解得m≥10,
所以(x-5)2≥10,解得x≥10
故市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为10.
【加练·固】为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min )成正比例,药物燃烧完后满足y=,如图所示,现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg,请按题中所供给的信息,解析下列各题.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
【解析】(1)当0≤x≤8时,设y=λx,代入(8,6),解得λ=,所以y=x(0≤x≤8).
当x≥8时,(8,6)代入y=,可得k=48,
所以y=(x≥8),
所以y=.
(2)当x∈[0,8]时,x=3,解得x=4,
当x>8时,=3,解得x=16.
所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16-4=12>10,所以此次消毒有效.
(15分钟·30分)
1.(4分)某企业2018年全年投入研发资金150万元,为激励创新,该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%,则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( )
(参考数据:lg 1.08≈0.033,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
【解析】选C.设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n,则150×(1+8%)n-2018≥200,
则n≥2018+≈2018+=2 021.8,
取n=2 022.
2.(4分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t= -144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t=________.(已知lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
【解析】当N=40时,则t=-144lg
=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72
3.(4分)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素,治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务,其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中,每经过一次处理可将有害气体减少20%,那么要让有害气体减少到原来的5%,至少要经过______次处理?(参考数据:lg 0.05≈-1.301,lg 0.8≈-0.097.)
【解析】设工业有害气体在未处理前为a,经过x次处理后变为y,则y=a(1-20%)x=a(80%)x.
由题意得=5%,即(80%)x=5%,两边同时取以10为底的对数得xlg0.8=lg0.05,
即x=≈13.4.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.
答案:14
4.(4分)汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,汽车在惯性的作用下有一个刹车距离,设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1,刹车距离为S2,则S=S1+S2.而S1与反应时间t有关,S1=10ln(t+1),S2与车速v有关,S2=bv2.某人刹车反应时间为-1秒,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100 km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为________.(精确到米)
【解析】因为刹车反应时间为-1秒,
所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,
当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则S2=b·(60)2=20,
解得b=,
即S2=v2,若v=100,
则S2=×1002≈56,S1=5,
则该汽车的安全距离S=S1+S2=5+56=61(米).
答案:61米
5.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=px2+qx+r或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数,a≠0),已知4月份该产品的产量为1.37万件,问选取哪个函数模型好?请说明理由.
【解析】对于二次函数y=px2+qx+r,由已知得
得
所以y=-0.05x2+0.35x+0.7,当x=4时,y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.
又对于函数y=a·bx+c,由已知得
得
所以y=-0.8·+1.4,
当x=4时,y2=-0.8·+1.4=1.35,根据四月份的实际产量为1.37万件,
而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|,所以选取函数y=-·+模型较好.
1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要________分钟.
【解析】由题意可得Ta=24,T0=88,T=40,
可得:40-24=(88-24),解得h=10,
此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,
可得:32-24=(40-24),解得t=10.
答案:10
2.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.
(1)求a的值.(2)求k的值.
(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.
【解析】(1)由题意,t=0,S=a=7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,
所以3.5=7e-5k,解得k=.
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.
溶解过程:随着时间的增加,逐渐溶解.
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