1、课时作业37平面与平面垂直的判定知识点一二面角1.给出下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中真命题是()A BC D答案B解析对于，显然混淆了平面与半平面的概念，错误；对于，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，正确；对于，因为所作射线不一定垂直于棱，所以错误；正确故选B.2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
2、，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为_答案45解析ABBC，ABBC1，C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45.知识点二 平面与平面垂直的判定3如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有()A2对 B3对C4对 D5对答案B解析如图所示因为PA平面ACB，PA平面PAC，PA平面PAB，所以平面PAC平面ACB，平面PAB平面ACB.因为PA平面ACB，CB平面ACB，所以PACB.又ACCB，且PAACA，所以CB平面PAC.又CB平面PCB，所以平面PAC平面PCB.共有：平面PAC平面ACB，平面
3、PAB平面ACB，平面PAC平面PCB.故选B.4设有直线m，n和平面，则下列结论中正确的是()若mn，m，n，则；若mn，n，m，则；若mn，m，n，则；若m，n，mn，则.A BC D答案B解析错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两平面的交线垂直.知识点三 平面与平面垂直的证明5如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AEPC于E，AFPB于F.求证：(1)AE平面PBC；(2)平面PAC平面PBC；(3)PBEF.证明(1)因为AB是圆O的直径，所以ACB90，即
4、ACBC.因为PA圆O所在的平面，即PA平面ABC，而BC平面ABC，所以BCPA.又ACPAA，所以BC平面PAC.因为AE平面PAC，所以BCAE.又AEPC，PCBCC，所以AE平面PBC.(2)由(1)知AE平面PBC，且AE平面PAC，所以平面PAC平面PBC.(3)因为AE平面PBC，且PB平面PBC，所以AEPB.又AFPB于F，且AFAEA，所以PB平面AEF.又EF平面AEF，所以PBEF.6如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：平面EFG平面EMN.证明E，F分别为PB，AB的中点，EFPA
5、.ABPA，ABEF.同理，ABFG.EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，AB平面EFG.M，N分别为PD，PC的中点，MNCD.ABCD，MNAB，MN平面EFG.MN平面EMN，平面EFG平面EMN.一、选择题1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角()A相等 B互补C相等或互补 D关系无法确定答案D解析如图所示，设平面ABCN平面BCPQ，平面EFDG平面ABCN，GD平面BCPQ，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCPQ垂直，因为二面角HDGF的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定2如图，设P是正方形ABCD
6、所在平面外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC，ADPA.又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.ADPA，ADAB，PAABA，AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.3在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面P
7、DF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析如图，BCDF，BC平面PDF.A正确BCPE，BCAE，BC平面PAE.DF平面PAE.B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正确4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABDCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析CD平面ABD，从而CDAB，又ABAD，ADCDD，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.
8、5在二面角l的一个面内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则此二面角的大小是()A30 B30或45C45 D45或135答案D解析如图所示，设AB与l交于一点C，在AB上任取一点M，过M作MN于N，过M作MEl于E，连接NE，则NEl.NEM为二面角l的平面角或它的补角，连接NC.BCE45，BCN30.设MEx，则MCx，MNx.在RtMNE中，sinNEM，NEM等于45或135，故选D.二、填空题6在二面角l中，A，AB平面于点B，BC平面于点C.若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为_答案60或120解析如图，AB，ABl.BC，BCl，l平面A
9、BC.设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角l的平面角的大小为60或120.7如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；直线AC1与直线B1C所成的角是90.其中正确结论的序号是_答案解析正确，连接A1H，BH，DH.因为ABADAA1，AH平面A1BD，所以RtABHRtADHRtAA1H，所以HBHDHA1.又A1BD是等边三角形，所以点H是A1BD的中心正确，因为A1B1AB，A1B1AB，CDAB，CDAB，所以A1B1
10、CD，且A1B1CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1CA1D.又A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.同理可证B1D1平面A1BD.又B1CB1D1B1，所以平面CB1D1平面A1BD.又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.正确，连接BC1，AC1，AD1，因为四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1.因为AB平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，所以B1CAB.又BC1ABB，所以B1C平面ABC1D1.又AC1平面ABC1D1，所以AC1B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是90.8如图，P是二面角AB的棱AB上一点，
11、分别在，上引射线PM，PN，截PMPN.若BPMBPN45，MPN60，则二面角AB的大小是_答案90解析在内过点M作MOAB于点O，连接NO，设PMPNa.BPMBPN45，OPMOPN，NOAB，MON为二面角AB的平面角连接MN.MPN60，MNa.又MONOa，MO2NO2MN2，MON90.三、解答题9如图所示，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BDCD.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)若AB2BD，求二面角ADCB的正弦值解(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又BDCD且BDABB.CD平面ABD.又CD平面ACD.平面ABD平面ACD.(2)由(1)知
12、ADB为二面角ADCB的平面角在RtABD中，AB2BD，ADBD，sinADB.即二面角ADCB的正弦值为.10如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，且CD2AB.(1)若ABAD，直线PB与CD所成的角为45，求二面角PCDB的大小；(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD平面ABCD，并说明理由解(1)ABAD，CDAB，CDAD，又PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又PAADA，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD，PDA即是二面角PCDB的平面角又直线PB与CD所成的角为45，PBA45，PAAB.在RtPAD中，PAAD，PDA45，即二面角PCDB的大小为45.(2)当点E在线段PC上，且满足PEEC12时，平面EBD平面ABCD.理由如下：连接AC交BD于点O，连接EO.由AOBCOD，且CD2AB，得CO2AO，PEECAOCO12，PAEO.PA底面ABCD，EO底面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.在线段PC上存在点E，满足PEEC12时，平面EBD平面ABCD. - 9 -
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