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课时作业37 平面与平面垂直的判定
知识点一 二面角
1.给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中真命题是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
答案 B
解析 对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，错误；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，正确；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以错误；④正确．故选B.
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．
答案 45°
解析 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.
知识点二 平面与平面垂直的判定
3．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
答案 B
解析 如图所示．
因为PA⊥平面ACB，PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，所以平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB.
因为PA⊥平面ACB，CB⊂平面ACB，
所以PA⊥CB.
又AC⊥CB，且PA∩AC＝A，
所以CB⊥平面PAC.
又CB⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.
共有：平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB，平面PAC⊥平面PCB.故选B.
4．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是( )
①若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；
②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；
③若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案 B
解析 ①错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；③错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两平面的交线垂直.
知识点三 平面与平面垂直的证明
5．如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F.
求证：(1)AE⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面PBC；
(3)PB⊥EF.
证明 (1)因为AB是圆O的直径，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，
而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.
又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.
又AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明 ∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.
∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.
同理，AB⊥FG.
∵EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，
∴AB⊥平面EFG.
∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.
∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.
∵MN⊂平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.
一、选择题
1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
答案 D
解析 如图所示，设平面ABCN⊥平面BCPQ，平面EFDG⊥平面ABCN，GD⊥平面BCPQ，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCPQ垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．
2．如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案 A
解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，AD⊥PA.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
∵AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
∴AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.
3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
答案 C
解析 如图，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF.
∴A正确．
∵BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥CD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 ∵CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC.
又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.
5．在二面角α－l－β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是( )
A．30° B．30°或45°
C．45° D．45°或135°
答案 D
解析 如图所示，设AB与l交于一点C，在AB上任取一点M，过M作MN⊥β于N，过M作ME⊥l于E，连接NE，则NE⊥l.∠NEM为二面角α－l－β的平面角或它的补角，连接NC.
∵∠BCE＝45°，∠BCN＝30°.
设ME＝x，则MC＝x，MN＝x.在Rt△MNE中，sin∠NEM＝＝＝，∴∠NEM等于45°或135°，故选D.
二、填空题
6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C.若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．
答案 60°或120°
解析 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l.
∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC.
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°.
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.
其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 ①正确，连接A1H，BH，DH.因为AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD，所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H，所以HB＝HD＝HA1.又△A1BD是等边三角形，所以点H是△A1BD的中心．
②正确，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB，所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.同理可证B1D1∥平面A1BD.又B1C∩B1D1＝B1，所以平面CB1D1∥平面A1BD.又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.
③正确，连接BC1，AC1，AD1，因为四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1.因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AB.又BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又AC1⊂平面ABC1D1，所以AC1⊥B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是90°.
8．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．
答案 90°
解析 在α内过点M作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON为二面角α－AB－β的平面角．连接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.
三、解答题
9．如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.
(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若AB＝2BD，求二面角A－DC－B的正弦值．
解 (1)证明：∵AB⊥平面BCD，
CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.
∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.
∴平面ABD⊥平面ACD.
(2)由(1)知∠ADB为二面角A－DC－B的平面角．
在Rt△ABD中，AB＝2BD，
∴AD＝＝BD，
∴sin∠ADB＝＝.
即二面角A－DC－B的正弦值为.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．
解 (1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．
又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45°，
∴PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.
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