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3.2.1.2 函数的最值
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．0,2
C．－1,2 D．3,2
解析：当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.
答案：C
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
答案：A
二、填空题
5．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
6．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋t＋1＝2＋，
当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
答案：4
三、解答题
8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；
单调递减区间为 .
(2)因为f＝，f()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.
因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
[尖子生题库]
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．
解析：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如下图所示：
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)的最小值为
f(x)min＝
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