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课时素养评价
二十五 函数奇偶性的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是 ( )
A.f(-3)>f(-1) B.f(0)<f(5)
C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0)
【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，
所以f(-3)=f(3)，f(-1)=f(1)，
又f(3)>f(1)，
所以f(-3)>f(-1)，f(3)>f(-1)都成立.
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A.y=|x| B.y=(x≠0)
C.y=-x2 D.y=-x
【解析】选D.根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于B，y=，(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y=-x2，是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y=-x，是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意.
3.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1，且g(x)为R上的奇函数，f(-1)=8，求f(1)= ( )
A.6 B.-6 C.7 D.-7
【解析】选B.因为f(-1)=2g(-1)+1=8，
所以g(-1)=，又因为g(x)为奇函数，
所以g(-1)=-g(1).
所以g(1)=-g(-1)=-，所以f(1)=2g(1)+1=2×+1=-6.
4.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(-3)=0，则f(x)<0的解集是 ( )
A.(-3，0)∪(3，+∞)
B.(-∞，-3)∪(0，3)
C.(-∞，-3)∪(3，+∞)
D.(-3，0)∪(0，3)
【解析】选B.因为f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，
所以f(x)在(-∞，0)内是增函数，
因为f(-3)=-f(3)=0，
所以f(3)=0.
当x>0时，由f(x)=0=f(3)得0<x<3，
当x<0时由f(x)=0=f(-3)，所以x<-3，
当x=0时f(x)=0不符合题意，
故f(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0，3).
【加练·固】
已知奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式<0的解集为 ( )
A.(-∞，0)
B.(0，+∞)
C.(-1，0)∪(0，1)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
【解析】选C.根据题意，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，
则在(0，1)上，f(x)<0，在(1，+∞)上，f(x)>0.
又由f(x)为奇函数，则在(-∞，-1)上，f(x)<0，在(-1，0)上，f(x)>0，
<0⇔或，
则有-1<x<0或0<x<1，
即不等式<0的解集为(-1，0)∪(0，1).
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2+-x，则f(x)=________.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f=0；
又因为x<0时，f(x)=2x2+-x，
f(-x)=-f(x)，
所以x>0时，
f(x)=-f(-x)=-2x2+-x；
综上，f(x)=
答案：
6.设f(x)是定义在[-2b，3+b]上的偶函数，且在[-2b，0]上为增函数，则b=________，f(x-1)≥f(3)的解集为________.
【解析】f(x)是定义在[-2b，3+b]上的偶函数，
所以-2b+3+b=0，所以b=3，
所以f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上为增函数，所以f(x)在[0，6]上为减函数，
所以由f(x-1)≥f(3)得：.
解得-2≤x≤4，所以f(x-1)≥f(3)的解集为：
{x|-2≤x≤4}.
答案：3 {x|-2≤x≤4}
三、解答题(共26分)
7.(12分)试探究函数y=1-的性质，并作出函数的图像.
【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.
设f(x)=1-，则对任意x∈D都有-x∈D，
而且f(-x)=1-=1-=f(x)，
所以函数f(x)=1-是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称.
因为x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2时，
f(x2)-f(x1)=-
=-==，
所以=，因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以>0，所以函数f(x)=1-在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<1.列出部分函数值如表所示，描点作图.
x
1
2
3
f(x)=1-
-3
0
再根据函数是偶函数，可得出函数图像如图所示.
8.(14分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=.
(1)求f(2)的值；
(2)证明：y=f(x)在区间(-∞，0)上是减函数.
(3)求f(x)的解析式
【解析】(1)根据题意，由函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1+，
则f(2)=-f(-2)=-=-；
(2)任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1≠x2，
则f(x2)-f(x1)=(1+)-=-=，
所以=-，又由x1-1<0，x2-1<0，可得<0，函数y=f(x)在区间
(-∞，0]上单调递减；
(3)当x=0时，f(0)=0；
当x>0时，-x<0，则f(-x)=1-，
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，f(x)=-1+=.所以f(x)=
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=|x-1|的图像是 ( )
【解析】选A.根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x-1|的值恒正可知选项D不正确.
2.(4分)若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，则F(x)在(-∞，0)上有 ( )
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x)，
因为函数f(x)、g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数，且F(x)=h(x)+2.
因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，
所以h(x)在(0，+∞)上有最大值3，
所以h(x)在(-∞，0)上有最小值-3，
所以F(x)=h(x)+2在(-∞，0)上有最小值-1.
3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为________.
【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2)，
令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，
又f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2)，
所以f(2)=0，所以f(x+4)=f(x)，
又f(1)=4，所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)
=f(1)+f(2)=4+0=4.
答案：4
【加练·固】
设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)=________.
【解析】因为f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=…=f(4 034)=0，
f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=…=f(4 035)
=2-1=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)
=2 017×0+2 018×1=2 018.
答案：2 018
4.(4分)已知偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，且f(2)=0，则不等式>0的解集为________.
【解析】根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，则在[0，+∞)上递增，又由f(2)=0，则在(0，2)上，f(x)<0，
在(2，+∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在(-∞，-2)上，f(x)>0，
在(0，2)上，f(x)<0，⇔>0⇒或，
解得-2<x<1或x>2，即不等式的解集为(-2，1)∪(2，+∞).
答案：(-2，1)∪(2，+∞)
5.(14分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)=-x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意实数m，f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
【解析】(1)当x<0时，-x>0，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x，
所以f(x)=；
(2)f(m-1)+f(m2+t)<0，
所以f(m-1)<-f(m2+t)，
又f(x)是奇函数，所以f(m-1)<f(-t-m2)，
又因为f(x)为R上的单调递减函数，
所以m-1>-t-m2恒成立，
所以t>-m2-m+1=-+恒成立，
所以t>即实数t的范围为.
1.函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=，则f(x)
等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=①
以-x代x，①式得f(-x)+g(-x)=，
即f(x)-g(x)=②
①+②得f(x)=.
2.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若a=1，求f(x)的最小值.
【解析】(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数.
当a≠0时f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)≠f(-a)，f(a)≠-f(-a)，此时， f(x)为非奇非偶函数.
(2)因为a=1，所以f(x)=x2+|x-1|+1=
当x≥1时，f(x)=-≥2，
当x<1时，f(x)=x2-x+2=+≥，故函数f(x)的最小值为.
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