1、课时素养评价二十五函数奇偶性的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)1.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)f(1).则下列各式中一定成立的是()A.f(-3)f(-1)B.f(0)f(5)C.f(-1)f(0)【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-1)=f(1)，又f(3)f(1)，所以f(-3)f(-1)，f(3)f(-1)都成立.2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=|x|B.y=(x0)C.y=-x2D.y=-x【解析】选D.根据题意
2、，依次分析选项：对于A，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于B，y=，(x0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y=-x2，是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y=-x，是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意.3.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1，且g(x)为R上的奇函数，f(-1)=8，求f(1)=()A.6B.-6C.7D.-7【解析】选B.因为f(-1)=2g(-1)+1=8，所以g(-1)=，又因为g(x)为奇函数，所以g(-1)=-g(1).所以g(1)=-g(-1)=-，所以f(1)=2g(1)+1=2+1=-6
3、.4.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(-3)=0，则f(x)0时，由f(x)=0=f(3)得0x3，当x0时由f(x)=0=f(-3)，所以x-3，当x=0时f(x)=0不符合题意，故f(x)0的解集为(-，-3)(0，3).【加练固】 已知奇函数f(x)在区间(0，+)上单调递增，且f(1)=0，则不等式0的解集为()A.(-，0)B.(0，+)C.(-1，0)(0，1)D.(-，-1)(1，+)【解析】选C.根据题意，函数f(x)在区间(0，+)上单调递增，且f(1)=0，则在(0，1)上，f(x)0.又由f(x)为奇函数，则在(-，-1)上，f(x)0，
4、0或，则有-1x0或0x1，即不等式0的解集为(-1，0)(0，1).二、填空题(每小题4分，共8分)5.定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2+-x，则f(x)=_.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f=0； 又因为x0时，f(x)=-f(-x)=-2x2+-x； 综上，f(x)=答案：6.设f(x)是定义在-2b，3+b上的偶函数，且在-2b，0上为增函数，则b=_，f(x-1)f(3)的解集为_.【解析】f(x)是定义在-2b，3+b上的偶函数，所以-2b+3+b=0，所以b=3，所以f(x)是定义在-6，6上的偶函数，且在-6，0上为增函数，所以f(x)在0，6上
5、为减函数，所以由f(x-1)f(3)得：.解得-2x4，所以f(x-1)f(3)的解集为：x|-2x4.答案：3x|-2x4三、解答题(共26分)7.(12分)试探究函数y=1-的性质，并作出函数的图像.【解析】函数的定义域为D=x|x0，从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=1-，则对任意xD都有-xD，而且f(-x)=1-=1-=f(x)，所以函数f(x)=1-是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称.因为x1，x2(0，+)，且x10，所以函数f(x)=1-在(0，+)上是增函数，且f(x)1.列出部分函数值如表所示，描点作图.x123f(x)=1-30再根据函数是偶函数，可得出函数
6、图像如图所示.8.(14分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=.(1)求f(2)的值；(2)证明：y=f(x)在区间(-，0)上是减函数.(3)求f(x)的解析式【解析】(1)根据题意，由函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=1+，则f(2)=-f(-2)=-=-；(2)任取x1，x2(-，0)，且x1x2，则f(x2)-f(x1)=(1+)-=-=，所以=-，又由x1-10，x2-10，可得0时，-x0的解集为_.【解析】根据题意，偶函数f(x)在(-，0上单调递减，则在0，+)上递增，又由f(2)=0，则在(0，2)上，f(x)0，又由f(x)为偶函数，则在(-
7、，-2)上，f(x)0，在(0，2)上，f(x)0或，解得-2x2，即不等式的解集为(-2，1)(2，+).答案：(-2，1)(2，+)5.(14分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x)=-x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意实数m，f(m-1)+f(m2+t)0恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)当x0，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x，所以f(x)=；(2)f(m-1)+f(m2+t)0，所以f(m-1)-f(m2+t)，又f(x)是奇函数，所以f(m-1)-t-m2恒成立，所以t-m2-m+1=-+
8、恒成立，所以t即实数t的范围为.1.函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=，则f(x)等于()A.B.C.D.【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=以-x代x，式得f(-x)+g(-x)=，即f(x)-g(x)=+得f(x)=.2.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1，aR.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a=1，求f(x)的最小值.【解析】(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数.当a0时f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)f(-a)，f(a)-f(-a)，此时， f(x)为非奇非偶函数.(2)因为a=1，所以f(x)=x2+|x-1|+1=当x1时，f(x)=-2，当x1时，f(x)=x2-x+2=+，故函数f(x)的最小值为.9
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