资源描述
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．0 B．1
C．－2 D．2
解析：选D.2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则a－b与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.
5．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
此时点P的坐标为(3，0)．
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，
即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，
所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，)，且|λa＋b|＝，则λ＝________．
解析：由已知易得λa＋b＝，则(－λ)2＋＝，解得λ＝1或λ＝－.
答案：1或－
8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为______．
解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．
(1)求a－b及|a－b|；
(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝＝4.
(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，
因为ka＋b与a－b垂直，
所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，
解得k＝3.
10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得
所以或
故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cos θ＝＝，所以θ＝.
[B 能力提升]
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.设a与c的夹角为θ，依题意，得
a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.
设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，
所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，
所以cos θ＝＝＝＝－，
所以a与c的夹角为120°.
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1.因为M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)，所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
13．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为________．
解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
所以·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．
所以＝(－3，0)，＝(0，4)，＝(3，－4)．
所以·＝－3×0＋0×4＝0，
·＝0×3＋4×(－4)＝－16，
·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
所以·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
法三：(转化法)因为||＝3，||＝4，||＝5，
所以AB⊥BC，所以·＝0，
所以·＋·＋·＝·(＋)
＝·＝－||2＝－25.
答案：－25
14．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，
所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2 ]．
[C 拓展探究]
15．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以＝(1，1)，＝(－3，3)．
·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，所以AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝.
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又因为＝(1，1)，所以解得所以点C的坐标为(0，5)．所以＝(－2，4)．
又＝(－4，2)，
所以||＝2，||＝2，
·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
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