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课时素养评价 十二
基本不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是 ( )
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和.即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
2.不等式a2+b2≥2|ab|成立时,实数a,b一定是 ( )
A.正数 B.非负数
C.实数 D.不存在
【解析】选C.原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,对任意实数都成立.
3.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ( )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选B、D.因为ab≤,a≠b,所以ab<1,又1== <,所以>1,所以ab<1<.
4.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为0<x<1,所以1-x>0,则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知当x=3时,代数式4x+(x>0,a>0)取得最小值,则a=________.
【解析】4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,所以=3,即a=36.
答案:36
6.下列不等式的证明过程:
①若a,b∈R,则+≥2=2.
②若x,y∈R,则|x+|=|x|+≥2.
③若a,b∈R,ab<0,则+=
-≤-2=-2.
其中正确的序号是________.
【解析】①ab>0时成立,ab<0时不成立.
②当x>0,y<0时,≠|x|+.
③正确.
答案:③
三、解答题(共26分)
7.(12分)(1)x>0时,求x++2的最小值.
(2)0<x<时,求2x(5-2x)的最大值.
【解析】(1)因为x>0,所以x++2≥2+2=8,当且仅当x=,即x=3时等号成立.即x++2的最小值是8.
(2)因为0<x<,所以5-2x>0,所以2x(5-2x)≤=,当且仅当2x=5-2x,即x=时等号成立,即2x(5-2x)的最大值为.
8.(14分)求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=即x=1时,“=”成立,所以x+≥2.当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,“=”成立.所以x+≤-2.故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知m=a+(a>2),n=4-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 ( )
A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定
【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0.
又因为m=a+=(a-2)++2,
所以m≥2+2=4.
由b≠0得b2≠0,
所以4-b2<4,即n<4.所以m>n.
2.(4分)已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b= ( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
3.(4分)已知x>0,y>0,且满足+=1,则xy的最大值为________,取得最大值时y的值为________.
【解析】因为x>0,y>0且1=+≥2,所以xy≤3.当且仅当==即x=,y=2时取等号.
答案:3 2
4.(4分)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________.
【解析】因为a>0,b>0,所以原不等式可化为:
k≥-(a+b),
所以k≥--2.
因为+≥2,所以--2的最大值为-4.
所以k≥-4,即k的最小值为-4.
答案:-4
5. (14分)设x>-1,求的最小值.
【解析】因为x>-1,所以x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1,于是有:
==
=t++5≥2+5=9.
当且仅当t=,即t=2时取等号,此时x=1.
所以当x=1时,取得最小值是9.
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