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章末质量检测(一) 集合与常用逻辑用语
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是( )
A．M＝N B．MN
C．N⊆M D．M⊆N
解析：由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)·(x－1)＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知MN，故选B.
答案：B
2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|x∈N}，则A∩B中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意得A＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B中共有3个元素，故选D.
答案：D
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
答案：C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
解析：图中阴影部分可表示为(∁UB)∩A，且∁UB＝{1,5,6}，A＝{1,2}，所以(∁UB)∩A＝{1}．故选B.
答案：B
5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：B
6．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝( )
A．{－1} B．{－1,0}
C．{－1,3} D．{－1,0,3}
解析：集合B＝{x|x2－3x>0}＝{x|x<0或x>3}，则A∩B＝{－1}，选A.
答案：A
7．下列命题是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．每一个矩形都是平行四边形
C．所有的同位角都相等
D．存在实数不小于3
解析：D中含有存在量词．
答案：D
8．设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )
A．M∪N＝M B．M∪(∁RN)＝M
C．N∪(∁RM)＝R D．M∩N＝M
解析：∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0<x<2}，∴M∪N＝{x|x<4}＝M，故选项A正确；M∪(∁RN)＝R≠M，故选项B错误；N∪(∁RM)＝{x|0<x<2或x≥4}≠R，故选项C错误；M∩N＝{x|0<x<2}＝N，故选项D错误．故选A.
答案：A
9．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，
所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4a>5，
所以“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．
答案：B
10．命题“∀x>0，>0”的否定是( )
A．∃x>0，≤0 B．∃x>0,0≤x≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
解析：∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，>0”的否定是 “∃x>0,0≤x≤1”，故选B.
答案：B
11．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.选D.
答案：D
12．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a<－2 D．a>2
解析：不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2<x<－1时不等式成立，所以不等式的解为－a<x<－1.
∴－2>－a，即a>2，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则(∁UA)∩(∁UB)为________．
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∁UA＝{5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}．
答案：{7,8}
14．已知集合A＝{x|(x－3)(x＋1)<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.
解析：因为集合A＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>1}，所以A∪B＝{x|x>－1}．
答案：{x|x>－1}
15．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：所给命题是存在量词命题；其否定应为全称量词命题．
答案：∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
16．命题p：一次函数y＝ax＋b过一、二、三象限的充要条件________．
解析：如图所示，直线过一、二、三象限，则a>0，b>0.
答案：a>0，b>0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解析：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2－2x≠x，
x2－2x≠3，解得x≠－1，且x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.
18．(12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：
(1)若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
(2)若B≠∅，
则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
19．(12分)判断下列语句是否为命题，如果是，判断其是全称量词命题还是存在量词命题．
①有一个实数a，a不能取对数；
②对所有不等式的解集A，都有A⊆R；
③三角形内角和都等于180°吗？
④有的一次函数图象是曲线；
⑤自然数的平方是正数．
解析：①②④⑤都是可以判断真假的陈述句，是命题．③是疑问句，故不是命题．
因为①④含有存在量词，所以命题①④为存在量词命题．因为②含有全称量词，所以命题②为全称量词命题．因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以⑤为全称量词命题．
综上所述，①④为存在量词命题，②⑤为全称量词命题，③不是命题．
20．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}，∁UA＝{x|x<2或x>8}，∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．
(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.
即a的取值范围为(－∞，8)．
21．(12分)已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要条件，求a的取值范围．
解析：p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q，qp，
∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)
画出数轴：
结合数轴得
a>10或2a＋1<2，
故a的取值范围为a>10或0<a<.
22．(12分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A.
(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a取值构成的集合．
解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．
因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，
所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)因为C⊆B，如图所示：
所以解得2≤a≤8，
所以所求集合为{a|2≤a≤8}．
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