资源描述
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
[A 基础达标]
1．下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：选C.命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A.
4．下列结论中正确的是( )
A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
解析：选C.当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．故选C.
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q
解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．
6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．
解析：存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．
答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2＞0
7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
8．下列命题：
①存在x<0，x2－2x－3＝0；
②对于一切实数x<0，都有|x|>x；
③∀x∈R，＝x；
④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为________．
解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，
所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；
②显然为真命题；
③＝|x|，故③为假命题；
④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．
答案：①②
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
解：(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是存在量词命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x－3>x；
(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
[B 能力提升]
11．下列命题为真命题的是( )
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
解析：选C.若x＝，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.
12．下列命题中正确的是________(填序号)．
①∃x∈R，x≤0；
②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数；
③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数，正确，例如1；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.
综上可得，①②③都正确．
答案：①②③
13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)
解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．
答案：是
14．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．
解：因为命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，
所以¬p：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，
即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.
[C 拓展探究]
15．命题“＝”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．
解：不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．
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