资源描述
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
[A 基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－2＋2i，
故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D.z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A. B．5
C．2 D．10
解析：选B.依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A. B．5
C. D．5
解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
答案：4－3i
7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是____________．
解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5 －1 2
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)．
解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)
＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i
＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2 015－2 016i)＋(－2 016＋2 017i)
＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i＝1 009－1 010i.
10．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则，即a＝1.
[B 能力提升]
11．已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A. B.
C．6 D.
解析：选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤ ，故|z1－z2|的最大值为.
12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．
答案：圆
13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由题意得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)．由＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以
解得所以λ＋μ＝1.
答案：1
14．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝.
因为0<B<π，
所以S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
[C 拓展探究]
15．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.
(1)求复数z在复平面内对应的点所在的图形；
(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝，
得|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆．
(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OZ0|＝2，半径r＝，
所以当z＝1＋i时，|z|min＝.
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