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第五章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.某人在打靶中,连续射击2次,至多有一次中靶的对立事件是( )
A.至少有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.恰有一次中靶
答案B
解析某人在打靶中,连续射击2次的所有可能结果为:①第一次中靶,第二次中靶;②第一次中靶,第二次未中靶;③第一次未中靶,第二次中靶;④第一次未中靶,第二次未中靶.至多有一次中靶包含了②③④三种可能,故其对立事件为①,即两次都中靶.故选B.
2.
去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万,则去年年底甲县的人口为( )
A.162万
B.176万
C.182万
D.186万
答案C
解析由统计图可得,丙县人口占四个县总人口的20%,又丙县人口为70万,所以四个县总人口为7020%=350(万),
因为甲县人口占四个县总人口的52%,
所以甲县的人口为350×52%=182(万).
故选C.
3.某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34.用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座位号是( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A.23 B.09 C.02 D.16
答案D
解析选取的编号依次为21,32,09,16,17,则第4个志愿者的座位号为16.故选D.
4.随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为0.25,则两道选择题至少猜对一道的概率为( )
A.716 B.116 C.916 D.38
答案A
解析每道题猜对的概率为0.25=14,则猜错的概率为34,由独立事件概率的计算公式得两道选择题都猜错的概率为34×34=916,
所以至少猜对一道的概率为1-916=716,故选A.
5.从某中学抽取10名同学,得到他们的数学成绩如下:82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位:分).则这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为( )
A.92,92 B.92,96 C.96,92 D.92,90
答案A
解析数据92出现了3次,出现的次数最多,所以众数是92.
这组数据是按照由小到大的顺序排列的,中间两个数据的平均数是(92+92)÷2=92,故中位数是92.故选A.
6.有下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后,方差不变;④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案C
解析对于①,由于一组数据的众数可能不唯一,故①错误;
对于②,一组数据的方差必须是非负数,故②错误;
对于③,根据方差的定义知③正确;
对于④,根据频率分布直方图中频率的意义知④正确.
综上可得①②错误.
故选C.
7.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
答案A
解析设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的选法有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种,其中全是女生的选法有AB,AC,BC,共3种.
故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3.故选A.
8.某人为了检测自己的解题速度,记录了5次解题所花的时间(单位:分)分别为x,y,55,60,50,已知这组数据的平均数为55,方差525,则|x-y|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
解析因为这组数据的平均数为55,方差为525,
所以x+y=110,(x-55)2+(y-55)2=2.
设x=55+t,y=55-t,因为(x-55)2+(y-55)2=2,所以2t2=2,即t2=1,则|x-y|=2|t|=2.故选B.
9.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.17 B.1235 C.1735 D.1
答案C
解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,
“从中取出2粒都是白子”为事件B,
“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C.
则P(A)=17,P(B)=1235,A与B互斥.
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735.
即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是1735.
故选C.
10.港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h,现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),则在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为( )
A.300,0.25 B.300,0.35
C.60,0.25 D.60,0.35
答案B
解析由频率分布直方图得,在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5=0.3,
所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为0.3×1000=300,
行驶速度超过90km/h的频率为(0.05+0.02)×5=0.35.
故选B.
11.
如图是2019年我校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为( )
A.85,87 B.84,86
C.85,86 D.84,85
答案D
解析去掉最高分93,最低分79后,中位数为84,平均数为84×3+86+875=85.故选D.
12.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
甲地区
乙地区
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2;平均数分别为s1,s2,则下面正确的是( )
A.m1>m2,s1>s2 B.m1>m2,s1<s2
C.m1<m2,s1<s2 D.m1<m2,s1>s2
答案C
解析由频率分布直方图得,
甲地区[40,60)的频率为(0.015+0.020)×10=0.35,
[60,70)的频率为0.025×10=0.25,
所以甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5-0.350.25×10=66,
甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67.
乙地区[50,70)的频率为(0.005+0.020)×10=0.25,
[70,80)的频率为0.035×10=0.35,
所以乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5-0.250.35×10≈77.1,
乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5.
∴m1<m2,s1<s2.
故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中射中8环以下的概率为 .
答案0.40
解析由题意知射手在一次射击中射中8环以下的对立事件是射手在一次射击中射中8环及以上,
∵射手在一次射击中射中8环及以上包括射中8环,9环,10环,这三个事件是互斥的,
∴射手在一次射击中射中8环及以上的概率是0.20+0.30+0.10=0.60,
∴射手在一次射击中射中8环以下的概率是1-0.60=0.40.
14.如图,茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数,其中有一个被污损,若乙的中位数恰好等于甲的平均数,则的值为 .
答案6
解析乙的中位数为90,设的值为x,
则90=80+x+89+88+91+965,解得x=6.
15.王老师上数学课时,给同学们出了两道选择题,他估计做对第一道题的概率为0.8,做对两道题的概率为0.6,两道题做对与否没有影响,则估计做对第二道题的概率为 .
答案0.75
解析记:“做对第一道选择题”为事件A,“做对第二道选择题”为事件B,
由题可得P(A)=0.8,P(AB)=0.6,又两道做对与否没有影响,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.6,
所以P(B)=0.75.
16.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列描述中,正确的是 .(填序号)
甲
乙
①甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数;
②甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数;
③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差;
④甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差.
答案③
解析由条形图易知甲的成绩的平均数为x甲=4+5+6+7+85=6,中位数为6,方差s甲2=(-2)2+(-1)2+02+12+225=2,极差为8-4=4;乙的成绩的平均数为x乙=3×5+6+95=305=6,中位数为5,方差为s乙2=3×(6-5)2+(6-6)2+(6-9)25=3+0+95>2,极差为9-5=4.故x甲=x乙,甲、乙成绩的中位数不相等,s乙2>s甲2.故填③.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:
(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;
(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
解(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,
则x×40%+3xb4x=47.5%,x×10%+3xc4x=10%,
解得b=50%,c=10%,
故a=100%-50%-10%=40%,
即游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
(2)由(1)知游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%,
则抽取的青年人人数为200×34×40%=60,
抽取的中年人人数为200×34×50%=75,
抽取的老年人人数为200×34×10%=15.
即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.
18.(12分)为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市法制办组织了一次普法知识竞赛.统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩,如下表所示:
甲单位职工的成绩/分
87
88
91
91
93
乙单位职工的成绩/分
85
89
91
92
93
根据表中的数据,分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差,并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定.
解x甲=15×(87+88+91+91+93)=90,
x乙=15×(85+89+91+92+93)=90,
s甲2=15[(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=245,
s乙2=15[(85-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(93-90)2]=8.
因为245<8,所以甲单位的职工对法律知识的掌握更为稳定.
19.(12分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)求至多有2人排队等候的概率是多少.
(2)求至少有3人排队等候的概率是多少.
解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多有2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)记“至少有3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
20.(12分)某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄/岁
19
28
29
30
31
32
40
合计
工人数/人
1
3
3
5
4
3
1
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
解(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.
(2)茎叶图如图所示.
(3)年龄的平均数为
19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30.
这20名工人年龄的方差为s2=120[(-11)2+3×(-2)2+3×(-1)2+4×12+3×22+102]=12.6.
21.(12分)近年来,郑州经济快速发展,备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中a=4b.
(1)求a,b的值;
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数;
(3)若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在[50,60)的概率.
解(1)依题意得(a+b+0.008+0.027+0.035)×10=1,所以a+b=0.03,
又a=4b,所以a=0.024,b=0.006.
(2)平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9,
中位数为70+0.5-0.08-0.240.035≈75.14,
众数为70+802=75.
(3)依题意,知从分数在[50,60)的市民中抽取了2人,记为a,b,从分数在[60,70)的市民中抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共28种,
其中满足条件的为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),共13种,
设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A,则P(A)=1328.
22.(12分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,则P(Ak)=13,P(Bk)=12(k=1,2,3).
(1)记“乙获胜”为事件C,则P(C)=P(A1B1)+P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3B3)
=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)=23×12+232×122+233×123=1327.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,
则P(D)=P(A1B1A2B2)+P(A1B1A2B2A3)
=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+P(A1)P(B1)·P(A2)P(B2)P(A3)
=232×122+232×122×13=427.
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