2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五十六简单的三角恒等变换二新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 五十六简单的三角恒等变换(二) (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=sin 2x+sin2x,xR的值域是()A.B.C.D.【解析】选C.y=sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,因为-1sin1,所以y=sin 2x+sin2x的值域为.【加练固】若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0x,则f(x)的最大值是()A.1B.2C.+1D.+2【解析】选B.f(x)=(1+tan x)cos x=cos x=sin x+cos x=2sin .因为0x,所以x+,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.2.若sin(+)cos -cos(+)sin =0,则sin(+2)+sin(-2)等于()A.1B.-1C.0D.1【解析】选C.因为sin(+)cos -cos(+)sin =sin(+-)=sin =0,所以sin(+2)+sin(-2)=2sin cos 2=0.3.若tan=3,则=()A.3B.-3C.D.-【解析】选A.因为tan=3,所以tan =-.所以=3.4.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则()A.y=f(x)的最小值为-,其周期为B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为C.y=f(x)在内单调递增,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选A、D.f(x)=sin=sin=cos 2x,所以y=f(x)在内单调递减,周期为,又f=cos =-,是最小值.所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数y=的最小正周期是_.【解析】y=cos 4x,T=.答案:6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=_来截.【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,又a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,所以sin =.因为0x,x+0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值.(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.【解析】f(x)=1+cos 2x+sin 2x-cos 2x+a=sin+a+1.(1)由2x+=2k+(kZ)得x=k+(kZ).又0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=,故=1.(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,由x,得2x,2x+,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.由+a+1=,得a=-.8.(14分)有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?【解析】如图所示,设AOB=,则AB=asin ,OA=acos .设矩形ABCD的面积为S,则S=2OAAB,所以S=2acos asin =a22sin cos =a2sin 2.因为,所以2(0,).因此,当2=,即=时,Smax=a2.这时点A,D到点O的距离为a,矩形ABCD的面积最大值为a2. (15分钟30分)1.(4分)已知cos,sin 是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,则sin 2=()A.2-2B.2-2C.-1D.1-【解析】选A.因为cos ,sin 是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,所以sin +cos =t,sin cos =t,由sin2+cos2=1,得(sin +cos )2-2sin cos =1,即t2-2t=1,解得t=1-,或t=1+(舍).所以sin 2=2sin cos =2t=2-2.2.(4分)要使sin +cos =有意义,则应有()A.mB.m-1C.m-1或mD.-1m【解析】选D.sin +cos =2=2sin=,所以sin=,由于-1sin1,所以-11,所以-1m.3.(4分)已知coscos=,则sin +cos 的值是_.【解析】coscos=sincos=sin=cos 2=.所以cos 2=.因为,所以2,所以sin 2=-,且sin +cos 0.所以(sin +cos )2=1+sin 2=1-=.所以sin +cos =-.答案:-【加练固】已知sin =+cos ,且,则的值为_.【解析】将sin -cos =两边平方,得2sin cos =,所以(sin +cos )2=,所以sin +cos =,则=-(sin +cos )=-.答案:-4.(4分)已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是_,最小值是_.【解析】因为A+B=,所以cos2A+cos2B=(1+cos 2A+1+cos 2B)=1+(cos 2A+cos 2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.答案:5.(14分)已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.(1)求证:f=g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x0,)的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2=1+cos x,g(x)=1+2sincos=1+sin x.因为f=1+cos=1+sin x,所以f=g(x).(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cos x-sin x=cos.因为x0,所以x+,当x+,即0x时,h(x)单调递减,当x+,即x时,h(x)单调递增.所以函数h(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,根据函数h(x)的单调性,可知当x=时,函数h(x)取到最小值.1.已知cos2-cos2=a,那么sin(+)sin(-)等于()A.-B.C.-aD.a【解析】选C.sin(+)sin(-)=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=sin2cos2-cos2sin2=(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2)=cos2-cos2=-a.2.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BHOA,垂足为H.设OAD=,则BAH=-,OA=2cos ,BH=sin=cos ,AH=cos=sin ,所以B(2cos +sin ,cos ),OB2=(2cos +sin )2+cos 2=7+6cos 2+2sin 2=7+4sin.由0,知2+,所以当=时,OB2取得最大值7+4.11