2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五十六简单的三角恒等变换二新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 五十六
　简单的三角恒等变换(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是 (　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.y=sin 2x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+
=sin+,
因为-1≤sin≤1,
所以y=sin 2x+sin2x的值域为
.
【加练·固】
若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是 (　　)
A.1 B.2 C.+1 D.+2
【解析】选B.f(x)=(1+tan x)cos x
=cos x=sin x+cos x=
2sin .因为0≤x<,所以≤x+<,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.
2.若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.±1
【解析】选C.因为sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=sin(α+β-β)=sin α=0,
所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sin αcos 2β=0.
3.若tan=3,则= (　　)
A.3 B.-3
C. D.-
【解析】选A.因为tan==3,
所以tan θ=-.
所以=
===3.
4.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则 (　　)
A.y=f(x)的最小值为-,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在内单调递增,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在内单调递减,其图象关于直线x=对称
【解析】选A、D.f(x)=sin
=sin=cos 2x,
所以y=f(x)在内单调递减,周期为π,
又f=cos π=-,是最小值.
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=的最小正周期是________. 
【解析】y==cos 4x,T==.
答案:
6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=________来截. 

【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,
又a=GC+CF=bsin x+bcos x,
所以sin x+cos x=,
所以sin =.
因为0<x<,<x+<,
所以x+=或,x=或.
答案:或
三、解答题(共26分)
7.(12分)设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值.
(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.
【解析】f(x)=1+cos 2ωx+sin 2ωx-cos 2ωx+a
=sin+a+1.
(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z)得ωx=kπ+(k∈Z).
又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,
由≤x≤,得≤2x≤π,≤2x+≤,
所以当2x+=,即x=时,
f(x)取得最小值为+a+1.
由+a+1=,得a=-.
8.(14分)有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?
【解析】如图所示,设∠AOB=θ,则AB=asin θ,OA=acos θ.

设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,
所以S=2acos θ·asin θ=a2·2sin θcos θ=a2sin 2θ.
因为θ∈,所以2θ∈(0,π).
因此,当2θ=,即θ=时,Smax=a2.
这时点A,D到点O的距离为a,
矩形ABCD的面积最大值为a2.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知cosα,sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,则sin 2α= (　　)
A.2-2 B.2-2
C.-1 D.1-
【解析】选A.因为cos α,sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,
所以sin α+cos α=t,sin αcos α=t,
由sin2α+cos2α=1,
得(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1,
即t2-2t=1,解得t=1-,或t=1+(舍).
所以sin 2α=2sin αcos α=2t=2-2.
2.(4分)要使sin α+cos α=有意义,则应有 (　　)
A.m≤　　　　　 B.m≥-1
C.m≤-1或m≥　 D.-1≤m≤
【解析】选D.sin α+cos α
=2
=2sin=,
所以sin=,
由于-1≤sin≤1,
所以-1≤≤1,
所以-1≤m≤.
3.(4分)已知cos·cos=,θ∈,则sin θ+cos θ的值是________.  
【解析】cos·cos
=sincos=sin
=cos 2θ=.所以cos 2θ=.因为θ∈,所以2θ∈,所以sin 2θ=-,且sin θ+cos θ<0.
所以(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1-=.
所以sin θ+cos θ=-.
答案:-
【加练·固】
已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为________. 
【解析】将sin α-cos α=两边平方,
得2sin α·cos α=,所以(sin α+cos α)2=,
所以sin α+cos α=,则
==-(sin α+cos α)=-.
答案:-
4.(4分)已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是________,最小值是________.  
【解析】因为A+B=,所以cos2A+cos2B
=(1+cos 2A+1+cos 2B)=1+(cos 2A+cos 2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)
=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,
原式取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.
答案:　
5.(14分)已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.
(1)求证:f=g(x).
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.
【解析】(1)f(x)=2cos2=1+cos x,
g(x)==1+2sincos=1+sin x.
因为f=1+cos=1+sin x,
所以f=g(x).
(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cos x-sin x
==cos.
因为x∈[0,π],所以≤x+≤,
当≤x+≤π,即0≤x≤时,h(x)单调递减,
当π<x+≤,即<x≤π时,h(x)单调递增.
所以函数h(x)的单调递减区间为,
单调递增区间为,根据函数h(x)的单调性,
可知当x=时,函数h(x)取到最小值.

1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于 (　　)
A.-　 B.　 C.-a　 D.a
【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)
=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a.
2.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.

【解析】过点B作BH⊥OA,
垂足为H.
设∠OAD=θ,
则∠BAH=-θ,

OA=2cos θ,
BH=sin=cos θ,
AH=cos=sin θ,
所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),
OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos 2θ
=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin.
由0<θ<,
知<2θ+<,
所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.

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