2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测四十四简单的三角恒等变换新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（四十四） 简单的三角恒等变换
A级——学考水平达标练
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B　2sin α＝1＋cos α，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，tan不存在，当cos≠0时，tan＝.
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．－
解析：选A　因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有(　　)
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解析：选C　由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a＜c＜b.
4．已知tan 2α＝－2，＜α＜，则＝(　　)
A．－3＋2 B．3－2
C．－ D．
解析：选A　因为tan 2α＝－2，＜α＜，
所以tan 2α＝＝－2，解得tan α＝，
所以＝＝＝＝－3＋2.
5．若sin θ＝，＜θ＜3π，则tan＋cos＝(　　)
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
解析：选B　因为＜θ＜3π，所以cos θ＝－＝－.因为＜＜，所以sin＜0，cos＜0，所以sin＝－ ＝－，cos＝－ ＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.
6．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：因为3sin x－cos x
＝2
＝2sin，
又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
7．若＝，则sin α＋cos α的值为________．
解析：∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为，由题意可知sin α＝，所以cos α＝± ＝±，所以cos＝sin＝ ＝ ，所以cos＝或.

答案：或
9．化简：sin2x＋cos 2x.
解：原式＝sin2x＋cos 2x
＝sin2x·＋cos 2x
＝sin2x·＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
10．已知tan＝，求sin的值．
解：∵tan＝，∴sin α＝2sincos＝＝＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
B级——高考水平高分练
1．化简＝(　　)
A．1　　　　　　　　 　B．－1
C．cos α D．－sin α
解析：选A　原式＝
＝＝＝＝1.故选A.

2．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.
答案：－
3．已知θ∈，sin 2θ＝，求sin θ.
解：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－ ＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
因为θ∈，所以sin θ＞0，
所以sin θ＝.
4．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x＝sin 2x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin＝－，
sin＝－.
因为＜α＜，所以＜2α＋＜，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sin－cos
＝×－×＝.

5．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示，∵AB为半圆的直径，∴∠APB＝，又AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，∴∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋(1－cos 2α)＝sin＋.
∵0＜α＜，∴－＜2α－＜，∴当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.

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